突破填空題的難關(guān)

沈新權(quán)　劉　舸

考生最頭痛失分最嚴(yán)重

很多同學(xué)覺得數(shù)學(xué)考試中填空題最令人頭痛．選擇題有得選，解答題還有步驟可以得分，可是填空題需按題意一步步求解，要的卻只是最后的答案，一點(diǎn)點(diǎn)失誤就會(huì)前功盡棄．分析歷年高考數(shù)學(xué)卷答題情況發(fā)現(xiàn)，填空題確實(shí)是考生失分最嚴(yán)重的部分．從2007年開始,浙江省高考數(shù)學(xué)卷中的填空題已由4小題增至7小題，分值比例大大上升，做好填空題就顯得更為重要了．

計(jì)算要細(xì)心思維不定勢(shì)

做好填空題首先要非常細(xì)心．有時(shí)，一道題目你明明會(huì)做，可是因?yàn)橛?jì)算差錯(cuò)的緣故導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)了，分?jǐn)?shù)也就全沒有了.閱卷老師無法知道也不會(huì)管你究竟會(huì)不會(huì)做這個(gè)題.有時(shí)，從草稿紙往答卷上抄答案抄錯(cuò)了，這樣的失分就更冤枉了．

其次，還要突破思維定勢(shì)．填空題的答案不一定是唯一的．比如題目要求寫出函數(shù)的解析式，如果這個(gè)函數(shù)是分段函數(shù)，那就需要寫出各段的表達(dá)式；又比如要求求數(shù)列的通項(xiàng)公式，有可能需要對(duì)項(xiàng)數(shù)n分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論．當(dāng)然，也有的時(shí)候滿足條件的答案有很多個(gè)，但題目只要求寫出其中的一個(gè)．

解題找捷徑難題不再難

要答對(duì)填空題雖然有一定的難度，但它畢竟不是大題，所以題目本身不會(huì)很難．有些同學(xué)習(xí)慣把所有的填空題都當(dāng)成解答題來做，導(dǎo)致某些題的解題過程過于煩瑣，反而使出錯(cuò)的可能性增大．其實(shí)填空題最忌“小題大做”．在筆者看來，解答許多題目都是有捷徑可走的．要充分抓住題目本身的特點(diǎn)，找到巧妙的方法，盡量避免繁雜的計(jì)算推理過程，降低解題難度，節(jié)約解題時(shí)間．

一、 特征分析法

分析題目的隱含條件、內(nèi)在特征，通過推理分析，尋找正確答案．

例1設(shè)F（ｘ）=ｆ（ｘ）+ｆ（-ｘ），x∈R，若-π，-是函數(shù)F（ｘ）的單調(diào)遞增區(qū)間，將F（ｘ）的圖像按a=（π，0） 平移得到一個(gè)新的函數(shù)G（ｘ）的圖像，則G（ｘ）的單調(diào)遞減區(qū)間為

．

解析： 雖然F（ｘ）是抽象函數(shù)，無法求出其具體的解析式，但由條件F（ｘ）=f（ｘ）+f（-ｘ）我們可以發(fā)現(xiàn)F（ｘ）是偶函數(shù)，結(jié)合-π，-是函數(shù)F（ｘ）的單調(diào)遞增區(qū)間，可知，π是F（ｘ）的單調(diào)遞減區(qū)間．將F（ｘ）的圖像按a=（π，0） 平移得到新函數(shù)G（ｘ）的圖像，則G（ｘ）的單調(diào)遞減區(qū)間必定為+π，π+π，即，2π．

點(diǎn)評(píng)： 解題時(shí)，我們由F（ｘ）是偶函數(shù)這個(gè)隱含條件入手，根據(jù)圖像的對(duì)稱性，得到了F（ｘ）的單調(diào)遞減區(qū)間．請(qǐng)同學(xué)考慮：如果F（ｘ）為奇函數(shù)，能否用類似的方法求出G（ｘ）的單調(diào)區(qū)間？

二、 特殊化法

如果命題的一般情況為真，則特殊情況也必定為真．當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或其值為定值時(shí)，我們?？砂杨}中的參變量用特殊值代替，即可得到一般結(jié)論．解題時(shí)可取特殊值、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖像等．

例2設(shè)a>b>1，則log a b，log b a，log ab b的大小關(guān)系是．

解析： 考慮到三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是確定的，不妨取特殊值a=4，b=2，則log a b=，log b a=2，log ab b=， ∴ log ab b

例3如果函數(shù)ｆ（ｘ）=x2+bx+c對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有ｆ（2+t）=ｆ（2-t），那么ｆ（1）， ｆ（2）， ｆ（4） 的大小關(guān)系是．

解析： 由ｆ（2+t）=ｆ（2-t） ，可知ｆ（x）的圖像的對(duì)稱軸是x=2．故不妨考慮構(gòu)造特殊函數(shù)ｆ（x）=（x-2）2，即可求得ｆ（1）＝1，ｆ（2）＝0，ｆ（4）＝4， ∴ ｆ（2）< ｆ（1）< ｆ（4）．

例４已知SA，SB，SC兩兩所成的角均為60°，則平面SAB與平面SAC所成的二面角為．

解析： 將SA，SB，SC作為正四面體同一頂點(diǎn)引出的三條棱，不難得平面SAB與平面SAC所成的二面角為arccos．

三、 發(fā)現(xiàn)規(guī)律法

由于填空題不需要有詳細(xì)的證明過程，無須對(duì)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行求證，因此我們可以根據(jù)一些特殊的數(shù)據(jù)、情況，利用發(fā)散思維去聯(lián)想、類比、推廣、轉(zhuǎn)化，總結(jié)出其中蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，并以此規(guī)律解決問題．但在總結(jié)規(guī)律時(shí)需非常謹(jǐn)慎．

例５如圖1所示，把橢圓+=1的長(zhǎng)軸AB分成8等份，過每個(gè)分點(diǎn)分別作x軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=．

解析： 設(shè)F2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，首先我們發(fā)現(xiàn)P4F=a．另外，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知，Pi（ｉ＝1，2，

3，5，6，7）到F，F(xiàn)2的距離之和有同樣的規(guī)律，即P1F+P1F2=P1F+P7F＝2ａ． ∴ P1F+P2F+P3F+P4F+P5F+P6F+P7F=7a=35．

例6將楊輝三角中的每一個(gè)數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個(gè)如圖2所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形．從此三角形可以看出+＝，其中ｘ=．令ａｎ＝++++…++（ｎ≥3且n∈N），則ａｎ=．

解析： 在題目中有“看出”二字，所以我們可以直接觀察圖2中的三角形，發(fā)現(xiàn)三角形中任意一個(gè)數(shù)是它“腳下”兩數(shù)之和．如=+．由這個(gè)規(guī)律可得x=r+1．而an=++++…++=-+-+-+-=-， ∴ ａｎ=-=．

四、 構(gòu)造新模型法

根據(jù)題目的具體情況設(shè)計(jì)新的模型，可以幫助我們方便地解決一些情形較復(fù)雜的問題．

構(gòu)造新模型時(shí)要注意從整體考慮．如果要構(gòu)造函數(shù)，則需注意觀察所給函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，要建立在對(duì)函數(shù)的性質(zhì)的深刻理解的基礎(chǔ)上．

在立體幾何中，正方體是最基本的幾何體之一，其中蘊(yùn)涵著大量的空間線線、線面、面面的位置關(guān)系，因此在求解三棱錐、三棱柱等問題時(shí)，經(jīng)?？筛鶕?jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造相應(yīng)的正方體，將問題轉(zhuǎn)化為正方體中的問題進(jìn)行求解．

例7已知函數(shù)ｆ（ｘ）=

的最大值為M，最小值為m，則M+m＝．

解析： 函數(shù)ｆ（ｘ）可以化為ｆ（ｘ）=1+，令g（ｘ）=ｆ（ｘ）-1=． ∵ g（ｘ）為奇函數(shù)， ∴ m-1=

-（M-1），即M+ｍ＝2．

例8在三棱錐O-ABC中，三條棱OA，OB，OC兩兩互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的大小是

（用反三角函數(shù)表示）．

解析： 求OM與平面ABC所成角的大小時(shí)，我們可以有三種思考方法：①利用體積變換求出三棱錐的高，然后通過解OM與高構(gòu)成的三角形進(jìn)行求解；②建立空間直角坐標(biāo)系，通過求解向量與平面ABC的法向量的夾角進(jìn)行求解；③構(gòu)造正方體，將三棱錐置放在正方體中，利用正方體的性質(zhì)進(jìn)行求解．對(duì)于填空題來說，方法③最為簡(jiǎn)便．

將三棱錐O-ABC放進(jìn)如圖3所示的棱長(zhǎng)為a的正方體中，由正方體的性質(zhì)知，三棱錐O-ABC的高為a，而OM=a，所以本題的答案為arcsin．

五、 數(shù)形結(jié)合法

借助圖形的直觀性，結(jié)合數(shù)據(jù)迅速作出判斷．文氏圖、三角函數(shù)曲線、函數(shù)的圖像及方程的曲線等，都是常用的圖形．

利用數(shù)形結(jié)合思想解題時(shí)，要學(xué)會(huì)“構(gòu)造圖形”，精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，從而使代數(shù)問題幾何化，或使幾何問題代數(shù)化．要熟知以下代數(shù)式所表示的幾何意義：①表示動(dòng)點(diǎn)P（ｘ，ｙ）與點(diǎn)M（ａ，ｂ）連線的斜率；②z＝ax+by表示一動(dòng)直線；③（ｘ-ａ）2+（ｙ-ｂ）2表示動(dòng)點(diǎn)P（ｘ，ｙ）與點(diǎn)M（ａ，ｂ）間的距離的平方．

例9若關(guān)于x的方程＝ｋ（ｘ-2）有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)ｋ的取值范圍是．

解析： 令y1=，y2=k（ｘ-2）．方程有不等實(shí)根，即兩函數(shù)圖像有兩交點(diǎn).由圖4可知ｋAB＜ｋ≤0，其中AB為半圓的切線，計(jì)算得ｋAB＝

-， ∴ -＜ｋ≤0．

例10已知向量a=（1，1），ｂ=（1，-1），ｃ=（cosα，sinα）（α∈R），實(shí)數(shù)ｍ，ｎ滿足ｍａ+ｎｂ＝ｃ，則（ｍ-3）2+ｎ2的最大值為．

解析： 由已知可得m2+n2=1，則（ｍ-3）2+ｎ2表示單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)（3，0）的距離的平方，結(jié)合圖形可知，其最大值為16．

六、 類比轉(zhuǎn)化法

類比轉(zhuǎn)化法是指比較兩個(gè)（類）對(duì)象，找出它們?cè)谀骋环矫妫ㄌ卣?、屬性）的相似點(diǎn)，進(jìn)而把其中一個(gè)對(duì)象的有關(guān)性質(zhì)移植到另一個(gè)對(duì)象中去進(jìn)行解題．類比推理是從特殊到特殊的思維方法．

類比轉(zhuǎn)化法是編制新命題、發(fā)現(xiàn)新定理以及開拓解題思路的重要方法．類比轉(zhuǎn)化主要包括不同知識(shí)結(jié)論間的類比（見例11），以及解題思想方法間的類比（見例12）兩大類．

例11已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線AC與邊AB和AD所成的角分別為α，β，則cos2α+cos2β=1．若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，試寫出相應(yīng)的命題形式：

．

解析： 在平面圖形中，此命題是關(guān)于矩形的對(duì)角線與矩形的邊所成角之間的余弦關(guān)系的，把它類比到空間，我們可以考慮長(zhǎng)方體的對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱或者是與長(zhǎng)方體的面所成的角度之間的余弦（正弦）關(guān)系：

①長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=1，sin2α+sin2β+sin2γ=2；②長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C與平面A1B，A1C1，A1D所成的角分別為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=2，sin2α+sin2β+sin2γ=1；③長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角面A1ACC1與平面A1ABB1，A1ADD1所成的二面角分別為α，β，則cos2α+cos2β=1．

例12從裝有n+1個(gè)球（其中n個(gè)白球，1個(gè)黑球）的口袋中取出m個(gè)球（1

解析： 由題意，我們可以把左邊的式子歸納為從n+k個(gè)球（n個(gè)白球，k個(gè)黑球）中取出m個(gè)球，分為：沒有黑球，1個(gè)黑球，……，k個(gè)黑球，共k+1類，類比題目中的解題思想，這樣的取法共有種，即+·+…+·=．

總結(jié)： 從以上方法中我們可以看到，填空題的解答確實(shí)是有一定的捷徑可走的．但這個(gè)捷徑是建立在數(shù)學(xué)概念清晰、算法合理、運(yùn)算熟練的基礎(chǔ)上的，同時(shí)還要能進(jìn)行合理的分析和判斷．在具體應(yīng)用時(shí)，既要看到上述解題方法的優(yōu)勢(shì)，也要看到各類常規(guī)題的解題思想的指導(dǎo)作用．優(yōu)化思路、正確推理、少算多思是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要領(lǐng)．