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    向量錯解診斷

    2008-03-20 09:15:28陳定昌
    關(guān)鍵詞:單位向量實數(shù)性質(zhì)

    陳定昌

    從概念看:向量知識中的概念較多,且給出概念的角度交叉而多變,容易因概念模糊而發(fā)生錯誤.

    例1給出下列命題:

    ①零向量與任意向量平行,且與任意向量的數(shù)量積為零向量;

    ②零向量和單位向量均只有一個;

    ③設(shè)A,B,C為不同的三點,且存在實數(shù)λ,μ,λ+μ=1,=λ+μ,則A,B,C三點共線;

    ④若a=b=1,c=2a+3b,d=3a-2b,則c⊥d.

    其中正確命題的序號是

    (填上所有正確命題的序號).

    錯解: ①②③④

    正解: ③

    診斷: 在“平行向量”的定義中,有“零向量”與任一向量平行的規(guī)定.而在“向量數(shù)量積”的概念中規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零,而不是零向量.故命題①的前半部分是正確的,但后半部分是錯誤的,故①為假命題.

    課本對“相等向量”的定義中,有“零向量與零向量相等”的規(guī)定,即所有的零向量都是相同的,故零向量只有一個.我們知道,單位向量是指“長度等于1個單位的向量”,方向不受限制,所以單位向量有無數(shù)個.②也為假命題.

    由=λ+μ,λ+μ=1,得=λ+(1-λ),進(jìn)而有=λ,且由已知得≠0,≠0,故根據(jù)共線向量定理可知A,B,C三點共線.所以③是真命題.

    對于命題④,錯解誤以為兩單位向量是兩坐標(biāo)軸正方向上的單位向量:若a,b分別是x軸與y軸方向上的單位向量,則c=(2,3),d=(3,-2), ∵ 2×3+3×(-2)=0, ∴ c⊥d.但已知中并未給出類似條件,故不能用此結(jié)論來判斷,因而④又是一個假命題.

    預(yù)防措施: 從給出向量有關(guān)概念的四個角度來梳理概念,可大大減少此類錯誤的發(fā)生.

    角度一:大?。#┡c方向.弄清概念是只針對大小定義的,還是對大小和方向都有定義的.如單位向量僅有關(guān)于大小的定義,而實數(shù)與向量的積既有關(guān)于大小的定義,又有關(guān)于方向的規(guī)定.

    角度二:非零向量與零向量.弄清定義是僅對非零向量而言的,還是兼及非零向量與零向量的,特別要注意對零向量的規(guī)定.如例1中提到的“平行向量”與“向量數(shù)量積”的概念.

    角度三:“起點”與“終點”.在向量的加減運算中要弄清是“同一起點”“去掉起點”還是“起點與終點合一”的.如向量加法的“三角形”法則與“平行四邊形”法則.

    角度四:“基向量表示”與向量的坐標(biāo)表示.弄清各種表示法的性質(zhì),相互之間有什么聯(lián)系與區(qū)別.

    從性質(zhì)看: 向量的方向性決定了向量運算的性質(zhì)與實數(shù)運算性質(zhì)的不同.一些同學(xué)由于對實數(shù)運算的性質(zhì)非常熟悉,而對有關(guān)向量運算性質(zhì)的了解不夠深入,所以在進(jìn)行向量運算時,時常會受實數(shù)運算性質(zhì)的干擾導(dǎo)致錯誤.

    例2已知命題:

    ①若a≠0,b∈R,且ba=0,則b=0;

    ②若a·b=0,則a=0或b=0;

    ③若a+b=a+b,則a與b方向相同;

    ④(a·b)c-(a·c)b=0;

    ⑤(a+b)(a2-a·b+b2)=a3+b3.

    其中正確的命題個數(shù)為

    (A) 1 (B) 2

    (C) 4 (D) 5

    錯解: D

    正解: A

    診斷: ①真.由“實數(shù)與向量的積”的定義可知(與實數(shù)運算中的“a≠0,ba=0,則b=0”類似).

    ②假.錯因:與實數(shù)的性質(zhì):“當(dāng)a,b都是實數(shù)時,若ab=0,則a=0或b=0”進(jìn)行了錯誤類比.根據(jù)“兩向量垂直”的定義,當(dāng)a≠0,b≠0,而a⊥b時,也有a·b=0.

    ③假.錯因:未考慮零向量的向量本質(zhì).當(dāng)a或b中有一個為零向量時,該等式也成立,但此時兩向量的方向不相同.

    ④假.(a·b)c的結(jié)果是與c方向相同的向量,而(a·c)b的結(jié)果是與b方向相同的向量,因此向量的乘法不能像實數(shù)乘法那樣隨意交換因子.

    ⑤假.錯因:盲目類比實數(shù)運算中的“立方和公式”.事實上,從形式上看,等式的左邊為向量,而右邊為非零實數(shù),故兩邊不可能相等.

    預(yù)防措施: 經(jīng)常進(jìn)行類比思考,弄清楚向量運算性質(zhì)與實數(shù)運算性質(zhì)的相同、相近和不同點,明確要注意的問題,可較快提高在這個方面的“抗錯”能力.

    從應(yīng)用看:用向量知識求解綜合性問題或?qū)嶋H問題時,弄清問題中的向量的意義乃是解決問題的關(guān)鍵,不然的話,就容易出錯.

    例3將函數(shù)y=-2(x-2)2-1的圖像按向量a平移,使得拋物線的頂點在y軸上,且在x軸上截得的弦長為4,則向量a=.

    錯解: (2,9)

    正解: (-2,9)

    診斷: 圖像按向量a=(m,n)平移的意義,是圖像向左右與上下進(jìn)行的平移.當(dāng)m<0時向左平移m個單位,當(dāng)m>0時向右平移m個單位;當(dāng)n<0時向下平移n個單位,當(dāng)n>0時向上平移n個單位,也即是用(x-m,y-n)代替原函數(shù)式中的(x,y).

    本題可從將圖像先左右平移后上下平移來考慮,將y=-2(x-2)2-1的圖像向左平移2個單位,則拋物線的頂點在y軸上,此時函數(shù)變?yōu)椋?2x2-1;再將拋物線y=-2x2-1向上平移9個單位,滿足“在x軸上截得的弦長為4”,若圖像是按向量a進(jìn)行平移的,則a=(-2,9).錯解不清楚按向量平移的幾何意義,從而誤以為a的橫坐標(biāo)就是2.

    預(yù)防措施: 在審題時注意問題本身的向量意義,可有效防范此類錯誤的發(fā)生.一般情況下,對以向量形式給出條件的問題,首先應(yīng)弄清向量的幾何意義;而考慮用向量知識求解問題時,則應(yīng)首先理解問題中已知條件、所求結(jié)論的向量意義.

    “本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”

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