悖論

尹啟泰

悖論是邏輯概念。筆者以為，當(dāng)代中學(xué)生很有必要了解一些邏輯學(xué)的知識(shí)，邏輯可以使一個(gè)人的思維從死板的必然走向生動(dòng)的或然。

什么是悖論?比較形式化的悖論定義是：“由A可以推導(dǎo)出┓A(A的否定的形式寫(xiě)法)，并且由┓A可以推導(dǎo)出A。”我們可以通過(guò)一個(gè)例子來(lái)理解悖論的定義，比如有名的說(shuō)謊者悖論：

一個(gè)人說(shuō)了一句話：“我現(xiàn)在在說(shuō)謊?！蔽覀儊?lái)分析一下這句話是真話，還是謊話。假設(shè)這句話是真話，那么“我現(xiàn)在在說(shuō)謊”就是真實(shí)的，這個(gè)人確實(shí)在說(shuō)謊，所以這句話是謊話(A推導(dǎo)出┓A)；反過(guò)來(lái)，假設(shè)這句話是謊話，那么“我現(xiàn)在在說(shuō)謊”就是不真實(shí)的，這個(gè)人其實(shí)沒(méi)有說(shuō)謊，因此他說(shuō)的是實(shí)話(┓A推導(dǎo)出A)。

由這句話是真話，可以推導(dǎo)出這句話是謊言；由這句話是謊話，又可以推導(dǎo)出這句話是真話。這就可稱(chēng)為悖論。

悖論還有很多，如“蘇格拉底悖論”、“萬(wàn)能上帝悖論”、中國(guó)古代的“矛盾悖論”、“先有雞先有蛋悖論”、“自由悖論”、康德的二律背反等等。

其中風(fēng)頭最勁的悖論當(dāng)屬羅素悖論，它直接引起了“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”，撼動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

以下，我們介紹一下“羅素悖論”：

如果集合具有自己屬于自己的性質(zhì)，那么我們稱(chēng)這個(gè)集合是“自吞的”，比如所有集合的集合?，F(xiàn)在假設(shè)T是所有不自吞集合的集合。那么請(qǐng)問(wèn)T是否是自吞的?如果說(shuō)T不是自吞的，那么T將屬于自己，那么T就是自吞的。如果說(shuō)T是自吞的，那么T便具有T內(nèi)元素的性質(zhì)“不自吞”，即T是不自吞的。

“羅素悖論”的通俗形式是“理發(fā)師悖論”：一個(gè)理發(fā)師聲稱(chēng)他只給不為自己理發(fā)的人理發(fā)。那么問(wèn)題來(lái)了，這個(gè)理發(fā)師是否給自己理發(fā)?如果他不給自己理發(fā)，那么按照他的聲稱(chēng)，他應(yīng)該給自己理發(fā)。如果他給自己理發(fā)，那么按照他的聲稱(chēng)，他不應(yīng)該給自己理發(fā)。

數(shù)學(xué)家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，這對(duì)于當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們不啻于一記晴天霹靂，當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們?nèi)缤バ叛龅尿\(chéng)教徒，惶惶不可終日，歷史上稱(chēng)之為“第三次數(shù)學(xué)危機(jī)”?？?，這就是邏輯給科學(xué)帶來(lái)的影響。如果說(shuō)哲學(xué)是科學(xué)之母，那么邏輯就是科學(xué)之父，它對(duì)待科學(xué)是這么的嚴(yán)格，可是古代的中國(guó)人卻始終沒(méi)有認(rèn)識(shí)到邏輯的重要性，也難怪有人會(huì)說(shuō)中國(guó)古代無(wú)科學(xué)，因?yàn)橹袊?guó)人尊重的是習(xí)慣和經(jīng)驗(yàn)。