神奇的莫比烏斯圈

華應龍

教材說明

莫比烏斯圈是德國數學家莫比烏斯在1858年研究“四色定理”時偶然發(fā)現的一個副產品?！澳葹跛谷Α币驯蛔鳛椤傲私獠⑿蕾p的有趣的圖形”之一寫進了《數學課程標準》，編進了義務教育課程標準實驗教科書《數學》（新世紀版》第十冊。

教學目標

在老師的帶領下，學生自己動腦想像，自己動手操作，學會將長方形紙條做成一個神奇的莫比烏斯圈：進而經歷其出乎意料的變化過程，在其“魔術般的變化”中感受到數學的無窮魅力，拓寬學生的數學視野;再經歷創(chuàng)造性的設計發(fā)明環(huán)節(jié)，積淀“數學不僅好玩還好用”的積極情感，激發(fā)起進一步學好數學的志趣。

課堂實錄

一、變魔術。

師：（出示一張白紙條》請拿出這樣的白紙條。這張紙條有幾條邊？幾個面？

生：（齊）四條邊，兩個面。

師：一個正面、一個反面（邊比劃邊說，學生也隨著說）。現在我會變魔術，我能把它變成只有兩條邊，兩個面。你會嗎？

（停頓。學生擺弄著紙條，無人應答。教師微笑著把紙條變成紙圈。）

師：是不是兩條邊、兩個面？（邊問邊比劃。）

生：是?。ㄍ瑢W們都笑了。）

師：你會嗎？

生：會?。▽W生都做成了紙圈。）

師：我看那位男同學的笑很特別，什么意思？

男生：（笑著說）這沒什么神奇的！

師：是啊，地球人都知道。奇妙的是，我還能把它變成一條邊、一個面。（停頓，環(huán)視學生。）

（學生們瞪大眼睛，興趣一下子被激發(fā)起來了。有同學在想，有同學在試。）

師：非常好，有同學在大膽嘗試！〔全班同學都動起手來。）有五六個學生已經做出來了。太棒了！是不是這樣的？（老師把紙條放在背后操作，做成莫比烏斯圈。同學們笑了。）

師：不想讓你看到?。ǔ鍪灸葹跛谷?。）想想吧，是怎么做的？（同學們微笑著，嘗試著。成功了的，快樂著。沒成功的，納悶著。）

二、做紙圈。

師：（看到大多數同學都做成了）同學們可以互相幫助。（沒有做成的在同學和老師的幫助下也很快完成了。）看到同學們快樂的笑臉，

我真高興！我們可以這樣做（演示）。先做成一個普通的紙圈，然后將一端翻轉180°，再用膠水粘牢。（學生動手粘。）

是不是一條邊、一個面？怎樣檢驗呢？

（一名女生用手指沿著紙條的邊和面各走了一圈。）

生：是一條邊、一個面！

師：我們一起動手，都來檢驗一下吧。誰拿出一枝水彩筆，在紙圈的中間畫一條線，看看它是不是一個面。

生1：（邊畫邊說）又回來了。

生2：哎，真是?。▽W生有的笑了，有的很驚訝。）

生3：真是一個面呀，怎么回事？

師：像這樣沒有里面和外面之分，只有一個面的，數學上叫它單側曲面。（板書：單側曲面。）那么普通的紙圈有里外之分就叫……

生：雙側曲面?！怖蠋煱鍟弘p側曲面?！?/p>

師：這樣一個怪怪的紙圈叫什么名字呢？有人知道嗎？

（環(huán)顧全班，有3個學生舉手。）

生：莫比烏斯圈。（另兩生附和。）

師：真不簡單?。ò鍟耗葹跛谷Γ┠闶窃趺粗赖?？

生：從《十萬個為什么》上看到的。

師：是啊，我小時候也特別喜歡看《十萬個為什么》。為什么叫莫比烏斯圈呢？（無人應答。）我來告訴同學們，德國有一位數學家叫莫比烏斯，1858年，一次偶然的機會，他發(fā)現了這樣一個奇妙的紙圈。所以，人們就把這樣的紙圈叫莫比烏斯圈。

<學生們點頭領會。）

三、沿1/2線剪。

師：我們的魔術還可以往下做，怎么做呢？剛才你不是在這個紙圈中間畫了一條線嗎？想想看，如果我們沿著中間這條線把這個紙圈剪開。（教師示范剪一小段，個別學生要動手剪。）注意，別忙著動剪子。想一想，我們沿著中間這條線把這個紙圈剪開的話，會怎樣呢？

（學生面面相覷，不出聲。）

師：我們應該“大膽猜想”。

生1：我覺得這一個圈會變成兩個圈。

生2：我覺得會變成兩個莫比烏斯圈。

生3：會不會變成3個圈？

師：（看到有學生想剪了）要知道究競，怎樣辦呢？

生：剪剪看。

師：是啊，實踐出真知！

（學生積極地動起手來。）

生1：在我剪完之后，不像剛才同學們說的那樣是兩個圈，它們是連在一起的。

生2：我這個也是連在一起的。

師;那是一個圈還是兩個圈？

生：（齊）一個圈。

師：不過，這個圈中間有點扭起來了。我們都認為從中間剪開應該是兩個圈呀，怎么會變成一個圈呢？奇怪！

〔學生小聲議論起來。）

師：哪位同學能說說你的猜想？

生1：我猜想因為莫比鳥斯圈只有一條邊一個面，所以我覺得剪開以后是一個大圈！

生2：因為是粘著的，我覺得剪完是一個整體。

師：剛才兩位同學發(fā)表了很好的意見，其實每位同學都可以猜想。究竟為什么呢？你可以繼續(xù)研究。

（一男生在玩弄他剪出的長紙條……）

師：咦，有新發(fā)現了。這位同學說說你的發(fā)現。

男生：我也不知道我怎么剪出了一根紙條。

女生：他沒認真看老師的示范，先從邊上剪進去的。

（那男生點頭。）

師：對，我們是說沿中線剪開。真得“小心求證，（板書：小心求證），不然還以為有新發(fā)現了。不過，這也確實是個新發(fā)現啊。

（出示剪成的大圈）那么它還像剛才那樣，只有一個面嗎？

生：（齊）一個面.

師：這是我們猜測的，要準確回答，怎么辦？

生：用筆畫線。

師：請拿起筆來，在紙帶中間畫一畫，看一看，究竟是一個面還是兩個面？

（學生動手檢驗后，紛紛說“一個面”。）

師：我們看到的兩個面是不是都被畫上了線？

生：（恍然大悟）不是，只畫了一面，沒有畫到另一面。

師：那這個紙圈是不是單側曲面的呢？

生;不是。

師：是個雙側曲面。所以有的時候不能只在腦子里憑想像，還是要親自去做一做。做完以后，還得“小心”看準了。現在紙帶中間又畫了一條線了。如果再沿著這條線剪開，想一想，又會是什么結果呢？

生1：還是一個圈。

生2：我覺得是兩個圈。

生3：我也覺得是兩個圈，是兩個圓圈。

師：大家做做看。

（學生動手操作，老師也動手操作。）

生：是兩個套著的圈，真奇怪！〔學生開始小聲議論起來。）

師：這次我們同學猜兩個圈，結果還真是兩個圈，不過這兩個圈是……

生：是套著的。

師：對，是套在一起的口真奇妙！現在，你有什么想法嗎？

生：老師，還能剪。

（同學們都笑了，）

師：（邊笑邊說）還想再剪是嗎？對，如果再剪會怎么樣呢？我還真沒試過。還有其他想法嗎？

生：我覺得這太神奇了，可是我想知道這是怎么回事？

師：還有其他想法嗎？

生：我覺得這個圈本來應該是分開的，為什么會變著變著又纏在一起了？

師：這樣的紙圈確實有很多奧秘，值得我們去研究。

四、沿1/3線剪。

師：我們繼續(xù)來感受這個紙圈的神奇，好嗎？請同學們拿出那張黃紙條。在這張黃紙條上畫了三等分線，請把中間的一份涂上你喜歡的顏色。兩面都涂。

（學生動手操作。）

師：涂好了嗎？

生：沒有口

師：好，我們再等一等。涂完之后再把它圈成一個莫比烏斯圈。

生;做完了。

（很多同學都把做好的莫比烏斯圈舉了起來，教師對個別同學進行輔導。）

師：好，現在你有什么想法？

生：能沿著線把這個莫比烏斯圈剪開嗎？

師：可以的。如果我們沿著三等分線把這個莫比烏斯圈剪開的話，需要剪幾次呢？

生：（齊）兩次。

師：剪完以后會是什么樣子呢？

（學生小聲猜測。）

生1：我覺得剪完后可能會是三個圈套在一起。

生，2：我覺得是三個小圈套成一個大圈。

師：三個小圈套成一個大圈？真佩服你的想像。那究竟是怎么樣？還是動手去做一做。

〔學生開始操作口）

生：剪一次就可以了。

師：明明是兩條線，怎么剪一次就可以了？

（學生中不時發(fā)出驚奇的聲音：“咦！邪門兒了……”）

師：剪成了幾個圈？

生1：兩個。

生2：一個大圈套著一個小圈。

生3：小圈是單側曲面，大圈是雙側曲面。

五、自主玩。

師：剛才我們將一根普通的紙條擰、粘、剪（板書：擰、粘、剪），我們感受到了莫比烏斯圈的變幻莫測、神奇無比。我想接下來的時間就完全交給同學們了?，F在就發(fā)揮你們的聰明才智口你們自己想像、設計、制作。請拿出另一根白色紙條。剛才我們是擰了180度，你想還可以怎么擰？剛才我是沿1/2、1/3線剪的，現在你想怎么剪呢？特別好的創(chuàng)意，老師將獎給紅色紙條繼續(xù)設計。

（屏幕上出示經典的莫比烏斯圈圖案，并播放古典樂曲《漁舟唱晚》。學生創(chuàng)作，教師巡視，詢問夸獎，發(fā)放“獎品”。）

師：剛才是我們各自在創(chuàng)造，現在小組內的同學相互交流欣賞，說說你是怎么做的，怎么旋轉，怎么剪開的。

（學生開始小組交流，老師往返于幾個小組之間。爾后，請幾位同學在全班交流。）

生1：我是把紙條一端旋轉360度做成一個莫比烏斯圈，并沿1/2線剪開，得到的是兩個套在一起的圈。

生2：我?guī)退m正一下，把紙條一端旋轉360度做成的紙圈不是莫比烏斯圈。

師：那它是什么？

生2：它是一個雙側曲面的圈。

生3：這兩個圈的大小一樣。

生4：它們都是雙側曲面的圈。

生5：我得到一個結論：把紙條一端旋轉180度的奇數倍次做的圈是單側曲面的，而旋轉180度的偶數倍次做成的圈是雙側曲面的。

師：真棒！他不但動手做，還動腦想了。那這個規(guī)律到底對不對呢？除了多次實驗，還要從理論上去證明?，F在，我還是提議我們?yōu)樗拇竽懖孪牍恼疲?/p>

生6：我把紙條做成一個莫比烏斯圈再沿1/4線剪開，結果不能一次剪開，一共剪了兩次，但結果也得到兩個套在一起的大小一樣的雙側曲面紙圈。

師：剛才我們已經創(chuàng)造和分享了莫比烏斯圈的神奇。我想肯定還有很多同學想繼續(xù)去探究，咱們暫時打住。

六、發(fā)明用處。

（教師出示莫比烏斯爬梯圖片。）

師：在咱們西城區(qū)有一個莫比烏斯爬梯，有人玩過嗎？

（十多名學生都說“玩過”。）

女生：我玩的時候上上下下有十圈，累得我滿頭大汗，最后還是回到原地。

師：哈哈哈！原來我們只是覺得好玩，現在我們知道是怎么回事了嗎？

生：知道了！

師：莫比烏斯圈不但好玩，還好用呢。你想想看，莫比烏斯圈可以用在哪些地方呢？

生1：家里有胖兒子的，媽媽就可以設計一個莫比烏斯跑道，讓她的兒子減肥。

（同學們都笑了。）

生2：有的過山車就是這樣的。（很多學生附和。）

師：就像游樂園玩的那個，是吧？（教師出示幾張過山車的圖片，好多學生說：“是，真是這樣的。”）那過山車的軌道到底是不是莫比烏斯圈呢？我們下次玩的時候注意觀察一下，它是一個面呢，還是兩個面，好不好？

生3：我覺得可以把樓梯制成莫比烏斯圈的。

（眾人嘩然。）

師：很大膽的一個猜想，說不定有朝一日，我們的樓梯就像他講的那樣，我上去一會兒又下來了。

（全班哄堂大笑。）

生4：我覺得環(huán)線地鐵也可以是莫比烏斯圈的。

（學生又一片嘩然。）

師：多好的想法！問題是當地鐵沿著莫比烏斯軌道轉著轉著的時候，會轉到哪兒去呢？

（全班善意地大笑。）

〔教師播放“一位同學聽完磁帶一面錄音，換聽另一面”情景的8秒鐘錄像。）

生：（一男生搶著說）可以循環(huán)的那種，做一個莫比烏斯圈式的磁帶。（有三位同學附和。）

師：多有價值的創(chuàng)意，那樣的磁帶，就自動從這一面唱到那一面了。應該申請專利。唉！只可惜這個創(chuàng)意我們稍微遲了一點，已經被一個日本人申請了專利。

（好多同學發(fā)出了“唉”的一聲。一個女同學舉起了手。）

師：非常高興，女同學有代表了！

女生：放水沒關來回流，可以用莫比烏斯圈讓它循環(huán)。

師：哈……把水重新利用一下？好，我沒太明白口謝謝這位女同學！她的想法，讓我想到針式打印機的色帶，它就是讓墨水流到莫比烏斯圈原理做成的色帶上，充分利用了色帶的兩面。

（同學們報以熱烈的掌聲。）

七、說收獲與遺憾。

師：很可惜我們的時間到了，上了今天這節(jié)課你有什么收獲或遺憾？

生1：通過上這節(jié)課我知道了莫比烏斯圈，還知道了莫比烏斯圈怎樣疊，

生2：我的遺憾是我沒有想出那么多日常生活中可以用上莫比烏斯圈的用品。

師：那沒事，今天剛接觸嘛，接下來繼續(xù)想就是了。

生3：我知遣了莫比烏斯圈只有一條邊、一個面。

生4：我知道了莫比烏斯圈，我遺憾我不能多剪幾次。

（大家都笑了。）

師：那是怪華老師沒有給大家更多的時間，課下再試試好不好？

生5：我知道莫比烏斯圈在生活中有很多用處。

生6（那位首先想到莫比烏斯磁帶的男孩）：我媽媽早生我?guī)啄昃秃昧恕?/p>

（全班同學都笑了。）

師：好了，同學們，大家通過今天這節(jié)課的學習，是不是對莫比烏斯圈還有很多疑問呢？還有很多個“為什么”沒能解答。有的問題華老師也不怎么清楚。我告訴大家，數學中有一門專門研究莫比烏斯圈的學問叫做拓撲學。（板書：拓撲學）課下，有興趣的同學可以繼續(xù)去研究好不好？中國科技館，去過吧？

生：（齊）去過口

師：（播放三葉紐結錄像）中國科技館的大廳里就聳立著一個巨型的三葉紐結，這個三葉紐結就是根據莫比烏斯圈的原理設計的。

它每天不停地旋轉著美妙的曲線，帶給我們美的享受，讓我們享受著數學的神奇（在課題位置板書：神奇的），帶給我們無限的遐想……

課后反思

從整節(jié)課來看，較好地完成了教學目標，學生們在“動手做”中深切地感受到了莫比鳥斯圈的無窮魅力，激發(fā)起了強烈的好奇心和創(chuàng)造欲望。陳省身教授“數學好玩”幾個大字寫在他們臉上，寫在他們眼中，寫在他們心里。

我為新課程中加入這樣的學習內容鼓與歡，我為自已的教學創(chuàng)造樂悠悠！

以一張紙片做魔術導入，比直接出示莫比烏斯圈或者提出一個傳統的、在一般情況下無法解決的問題引出莫比烏斯圈，更能讓學生真切地感受到莫比烏斯圈像魔術般神奇的變化，并為學生琢磨其中的奧妙做了鋪墊。在這個變化過程中，我并不是將莫比烏斯圈和盤托出，而是給學生創(chuàng)造和想像的時空。教學實踐證明：不單莫比烏斯能發(fā)現這個圈，我們的學生也能夠創(chuàng)造出來。只不過莫比烏斯是無意間的發(fā)現，而我們的學生是有目的的探索。

在動手探尋莫比烏斯圈的奇妙特點時，我堅持讓學生先想一想、猜一猜，剪完以后再想一想：“我為什么沒有猜中？為什么會是這樣的？”這樣，就不只是讓學生動手做，還要學生動腦想，有效地培養(yǎng)了學生的空間想像能力、“大膽猜測，小心求證”的意識以及勤于反思的習慣。

一般的課上，學生的動手操作多是遵師命而為，學生只是操作工，不是探究者，我適時地放手，給了學生充分的自主創(chuàng)造的時間和空間，學生開動腦筋提出猜想，動手驗證，愉快體驗，它十分有效地激發(fā)了學生的創(chuàng)造熱情和發(fā)現欲望。

最后的教學環(huán)節(jié)不是定位于“介紹應用”，而是立意在“創(chuàng)造和欣賞”。當學生發(fā)出“唉——我媽媽早生我?guī)啄昃秃昧恕?，我竊喜不己，我要的就是這個效果：“人皆可以為堯舜”，我們一樣能創(chuàng)造！

教學，同樣是一門遺憾的藝術口滿足之余，我在品味那幾處遺憾——

在學生按1/2線剪完后，我問：“現在，你有什么想法嗎？”我的預設正是后兩位學生回答的：“我覺得這太神奇了，可是我想知道這是怎么回事？”“我覺得這個圈本來應該是分開的，為什么會變著變著又纏在一起了？”而當第一位學生說“老師，還能剪”時，我該不該讓學生再剪？我沒試過，可以讓學生去試嗎？整節(jié)課，對學生來說是處處出乎意料，但對我來說都是意料之中的。沒讓學生繼續(xù)剪，潛意識里是怕出乎我的意料，不可收拾？還是要完成我的教案，否則沒有時間按1/3線來剪了？說實話，我心底里是渴望課上出現“節(jié)外生枝”的場面，覺得那樣的課堂夠刺激，有挑戰(zhàn)，充滿著張力，展現著功力。但是為了完成教案，為了展示那按1/3線剪后的神奇，同時也是為學生后面的創(chuàng)造積蓄能力，我必須放棄這些“旁枝”。

那么，按1/3線來剪是非剪不可的嗎？是根據學生的反應來組織教學，還是根據老師的主觀預設來控制課堂？老師的設計肯定是較為理想的，但腳下走出來的才是路。自然的才是最美的！

雖然為了上這節(jié)課，我看了20多本相關的專業(yè)書籍，知道莫比烏斯圈有很多有趣的、神奇的性質：雖然發(fā)給學生的畫好1/3線的紙條，都是我親手一張一張地做成的，但是想起魯迅先生《作文秘訣》中的“有真意，去粉飾，少做作，勿賣弄”，想起普羅泰戈拉的“人是萬物的尺度”，我該以“生”為本還是以“圈”為本呢？再想到教學目標，我知道該怎么做了。

愛因斯坦說過，舊學校給學生太多的“好勝心”，很少培養(yǎng)學生的“好奇心”。這節(jié)課最根本的目標不就是培養(yǎng)學生的“好奇心”嗎？這么看來，那個“單側曲面”、“雙側曲面”也是可以不出示的，就用“一個面還是兩個面”來區(qū)分就行了。

再實踐

接下來，在別的班再上這一課時，就更為放手，沒有了“單側曲面”、“雙側曲面”的阻隔，沒有了老師的及時“犁肘”，學生的想像發(fā)揮得更為酣暢。有的用上了老師提供的畫好1/3線的紙條（那紙條變成了一種暗示），有的把莫比烏斯圈壓扁了，變成了一個六邊形，有的為了看清纏在一起的“真面目”，就再做一個，剪斷這個看那個，剪斷那個看這個。

最后我也參與了進去：“做了這么多莫比烏斯圈了，現在給你一張紙條你就能做成莫比烏斯圈嗎？”學生自信地答道：“能！”我拿起紙條，剪去一大段，“請你用這一小段做一個莫比烏斯圈?！睂W生為難了?！凹垪l太短了，不行。”有學生說道：“對啊，紙條的長和寬該是怎么的關系才能做呢？”學生在思考，我突然想起哥倫布豎雞蛋的故事?！熬陀眠@張紙條，我能做成一個莫比烏斯圈！”學生們的眼睛都閃閃發(fā)光。我用剪刀把紙條剪窄了……

那真是師生共享、共進，張揚個性，生成智慧的世界！