不完備性定理：一切知識(shí)的中心

鄭毓信

一九七八年逝世的K.哥德爾教授是當(dāng)代最杰出的數(shù)理邏輯學(xué)家，一位才華出眾的理論工作者。王浩教授曾這樣評(píng)論說，“哥德爾教授只從事于具有根本性的研究……他的工作導(dǎo)致了以往幾十年數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究中大多數(shù)主要部分的發(fā)展……哥德爾教授的工作使現(xiàn)代邏輯起了革命性的變化，極大地提高了它在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面的重要意義?！痹诟绲聽柕母黜?xiàng)研究中，一九三一年發(fā)表的不完備性定理具有特別重要的意義。它被譽(yù)為“數(shù)學(xué)和邏輯發(fā)展史中的里程碑”。而且，隨著人類文明的進(jìn)步，不完備性定理正在表現(xiàn)出越來越廣泛、越來越深刻的影響，以致被稱為“一切知識(shí)的中心”。例如，著名物理學(xué)家J.惠勒在一九七四年發(fā)表的一篇文章中就曾斷言：“即使到了公元五○○○年，如果宇宙仍然存在，知識(shí)也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識(shí)的中心?！?/p>

那么，什么是哥德爾的不完備性定理呢？在以往很長(zhǎng)的歷史時(shí)期內(nèi)，人們始終存在這樣的信念，就是認(rèn)為可以把任何一種數(shù)學(xué)理論(例如，自然數(shù)理論，歐氏幾何理論等)組織成一個(gè)“完備的”(和相容的)公理系統(tǒng)，也即可以找到這樣的有限多條公理(或公理模式)，從這些公理出發(fā)，按照一定的推理規(guī)則，可以“無一遺漏”地推出相應(yīng)理論中的所有真命題(而且，所推出的也僅僅是真命題，從而，這一公理系統(tǒng)就是相容的，也即無矛盾的)。然而，哥德爾卻證明了這種信念是錯(cuò)誤的，因?yàn)?，他的不完備性定理所斷言的就是：任何足夠豐富的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，如果是相容的，就一定是不完備的。這也就是說，對(duì)于足夠豐富的數(shù)學(xué)理論(在其中能夠發(fā)展起算術(shù)理論)來說，相應(yīng)的公理系統(tǒng)(嚴(yán)格地說，是形式系統(tǒng))必然或者是不相容的，或者是不完備的。

由于哥德爾的不完備性定理(以下簡(jiǎn)稱“哥德爾的定理”)與傳統(tǒng)觀念是直接違背的，因此，在哥德爾發(fā)表了自己的定理以后，人們發(fā)表了大量的文章和著作，它們或者對(duì)哥德爾的定理及其證明思想進(jìn)行解釋和分析，或者對(duì)哥德爾定理的實(shí)質(zhì)及其普遍意義進(jìn)行了剖析和論證。例如，在一九五八年出版的《哥德爾的證明》(英文版)一書中，作者E.耐格爾和J.紐曼就著重從數(shù)學(xué)的角度對(duì)哥德爾定理及其證明思想進(jìn)行了分析；另外，在一九六三年發(fā)表的一篇論文中，邏輯學(xué)家M.杜墨特則圍繞自然數(shù)概念的語義分析對(duì)哥德爾定理的哲學(xué)意義進(jìn)行了論述。然而，盡管存在大量的文章和著作，哥德爾的定理在少數(shù)專家圈子以外仍然很少為人們所了解：此外，雖然為數(shù)眾多的作者從各種不同的角度進(jìn)行了分析，但他們普遍的看法仍然是：“我們尚未能夠完全把握住哥德爾定理的深遠(yuǎn)意義。”

鑒于上述情況，D.霍夫施塔特的《GEB——一條永恒的金帶》一九七九年在美國引起轟動(dòng)并獲得了普利策大獎(jiǎng)，就不是偶然的了。因?yàn)?，這一著作從一種全新的角度對(duì)哥德爾的定理進(jìn)行了論述，而且，分析的深度也超過了先前的有關(guān)著作。

霍夫斯塔特是圍繞哥德爾定理來展開全書的論述的。但是，正如書名《GEB——一條永恒的金帶》(其中，G即是指哥德爾〔Gdel〕，E是指當(dāng)代杰出的畫家埃舍爾〔Escher〕，B則是指古典音樂大師巴赫〔Bach〕)所表明的，作者并沒有單純地從數(shù)學(xué)的角度去進(jìn)行分析，而是十分巧妙地把埃舍爾的畫、巴赫的樂曲及關(guān)于哥德爾定理的論述結(jié)合在一起，從而編織出了“一條永恒的金帶”。這條金帶發(fā)出的耀眼光輝不僅照亮了哥德爾定理及其證明思想，而且，它的更高價(jià)值就在于這一“連接”本身，即在于揭示出繪畫、音樂與數(shù)學(xué)這些似乎遙遠(yuǎn)相隔的人類不同文化領(lǐng)域之間所存在的“驚人的一致性”。據(jù)傳，古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派曾由于發(fā)現(xiàn)了諧音中所存在的“數(shù)的和諧性”而發(fā)展起了自己的哲學(xué)理論。他們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生各種諧音的弦的長(zhǎng)度都是成整數(shù)比的。例如，當(dāng)兩極繃得一樣緊的弦的長(zhǎng)度的比是2：1時(shí)，就會(huì)發(fā)出相差八度的諧音；而如果兩條弦長(zhǎng)的比是3：2，就會(huì)發(fā)出另一種諧音：短弦發(fā)出的音比長(zhǎng)弦發(fā)出的音高五度；等等。上述發(fā)現(xiàn)給畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員留下了極為深刻的印象，他們因此提出了“萬物皆數(shù)”的基本信條，并認(rèn)為自己終于抓住了“世界最終的奧秘”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的哲學(xué)理論是錯(cuò)誤的；但是，新的發(fā)現(xiàn)，特別是關(guān)于在不同領(lǐng)域中所存在的共同規(guī)律的發(fā)現(xiàn)，的確能給人以新的啟迪，并誘發(fā)出深刻的思想。這事實(shí)上也就是《金帶》及哥德爾定理的根本意義之所在：它向我們提出了這樣的問題：這一“永恒的金帶”究竟說明了什么？

縱覽《金帶》一書，容易看到，一個(gè)貫穿始終的概念就是“層次”的概念。作者是在最廣泛的意義下應(yīng)用這一概念的。例如，畫面中的不同水平面或不同的部分，樂曲中的主題與伴奏或不同的音部，原像與鏡像，錄制下來的聲音與真實(shí)的聲音，符號(hào)與意義，……這些都可以看成客觀事物中的不同層次。類似的還有，信息傳遞中的不同層次：結(jié)構(gòu)消息，外部消息，內(nèi)部消息；計(jì)算機(jī)中的不同層次：機(jī)器語言，匯編語言，編譯程序等；生命遺傳過程中的不同層次：DNA，蛋白質(zhì)，……。另外，除去這種客觀的層次性以外，人類的認(rèn)識(shí)活動(dòng)也表現(xiàn)出明顯的層次性：對(duì)于同一個(gè)對(duì)象(如樂曲、繪畫等)可以從各個(gè)不同的層次上去理解(當(dāng)然，認(rèn)識(shí)的這種層次性正是客觀事物的層次性的反映；而且，它的直接物質(zhì)基礎(chǔ)就是大腦結(jié)構(gòu)的層次性)。最后，就哥德爾定理而言，其中也直接涉及到了兩個(gè)不同的層次：對(duì)象數(shù)學(xué)和元數(shù)學(xué)。在對(duì)象數(shù)學(xué)中，我們只是按照一定的法則由給定的前提出發(fā)去進(jìn)行演繹；在元數(shù)學(xué)中，我們則對(duì)對(duì)象數(shù)學(xué)的整個(gè)邏輯結(jié)構(gòu)作出判斷，如，“某某命題是可以證明的”，“這一理論是相容的”，等等。顯然，相對(duì)于對(duì)象數(shù)學(xué)而言，元數(shù)學(xué)是一個(gè)更高的層次。

客觀事物及認(rèn)識(shí)過程的層次性或許早已為人們所熟悉；然而，哥德爾定理卻為我們揭示了問題的另一側(cè)面。那就是，在確認(rèn)層次性的同時(shí)，我們還必須清楚地看到不同層次間的可滲透性；而且，正如《金帶》的作者所指出的，在很多的情況下，這種不同層次間的滲透性又表現(xiàn)為“層次的纏繞”(另外，如果著眼于某一層次的話，這就是所謂的“自我相關(guān)”)。這種層次的纏繞會(huì)造成什么樣的后果呢？一種直觀的印象是，這是一種混淆，從而就可能導(dǎo)致混亂、甚至荒謬。例如，主題與伴奏互相干擾就可能造成噪音；另外，正如埃舍爾的版畫《畫廊》及《三個(gè)球》等所表明的，畫中有畫，映象之中有映象，……這就會(huì)造成混亂。正因?yàn)椤皩哟蔚睦p繞”往往包含有“悖理”的含義，因此《金帶》中就稱之為“怪圈”；而且，正如作者所指出的，哥德爾的定理實(shí)質(zhì)上也就是一個(gè)怪圈。具體地說，在這一定理的證明中，哥德爾首先通過映射實(shí)現(xiàn)了對(duì)象數(shù)學(xué)與元數(shù)學(xué)這樣兩個(gè)層次的互相纏繞，從而使得對(duì)象數(shù)學(xué)中的命題獲得了雙重的意義：它們既是對(duì)象數(shù)學(xué)中的命題，同時(shí)又具有元數(shù)學(xué)的意義；其次，哥德爾又構(gòu)造出了這樣一個(gè)“自我相關(guān)”的命題G，它所斷言的就是自身的不可證明性。從而，G就是一個(gè)不可證明的真命題。因?yàn)椋?/p>

一、如果G可以證明的話，G必然為真；而依據(jù)G的(元數(shù)學(xué))意義，這也就意味著：G是不可證明的，矛盾(從而，依據(jù)理論是相容的假設(shè)，G就是不可證明的)。

二、正因?yàn)镚是不可證明的，因此，依據(jù)G的意義，G就是個(gè)真命題。這樣，G的構(gòu)成就證明了系統(tǒng)的不完備性；而結(jié)論的普遍性(這里的主要條件就在于：對(duì)象理論必須足夠豐富以保證建立所說的映射)則又說明了“在數(shù)學(xué)理論中是無法將怪圈徹底地排除出去的”。一般地說，《金帶》的作者還通過大量實(shí)例的分析引出了這樣的結(jié)論：“怪圈不僅不是一種罕見的現(xiàn)象，而且在許多場(chǎng)合里是不可避免的。它是許多復(fù)雜系統(tǒng)的共同特點(diǎn)”。這也就是說，“無論是大腦思維，無論是人工智能，無論是嚴(yán)密的數(shù)學(xué)，無論是抽象的音樂，也無論是形象的美術(shù)，……都無法擺脫奇妙的怪圈。”

那么，這種“驚人的一致性”究竟意味著什么呢？或者說，究竟什么是哥德爾定理的普遍意義呢？考慮到哥德爾定理是數(shù)學(xué)對(duì)自身進(jìn)行“反省”，即是用數(shù)學(xué)推理對(duì)數(shù)學(xué)推理自身進(jìn)行探究的結(jié)果，《金帶》的作者也就主要從認(rèn)識(shí)論的角度對(duì)此進(jìn)行了分析，即著重討論了“哥德爾的理論為我們理解自己的思維提供了什么啟示”的問題。作者的觀點(diǎn)是：思維過程(及其物質(zhì)基礎(chǔ)——大腦)是包含有極其復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)的，而這些層次的相互纏繞(例如，上面的層次是靠底下的層次來支持的，但是又返回來影響和控制底層的活動(dòng))則就是思維活動(dòng)的關(guān)鍵所在。作者的這一分析是具有重要意義的。例如，從理論的角度說，以此為依據(jù)就可進(jìn)而去討論人類能否完全認(rèn)識(shí)某些事物(相應(yīng)地，能否完全把握某些概念)的問題。作者認(rèn)為，客觀事物中存在有兩種不同的性質(zhì)：“符號(hào)型性質(zhì)”和“語義型性質(zhì)”，前者并不涉及到多層次的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)，后者的認(rèn)識(shí)則依賴于多層次的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)；由于多層次的結(jié)構(gòu)具有無限豐富的內(nèi)容，因此要完全認(rèn)識(shí)語義型的性質(zhì)(或者說，把握住相應(yīng)的概念，如真、美等)就是十分困難的(然而，應(yīng)當(dāng)補(bǔ)充的是，我們?nèi)钥赏ㄟ^發(fā)展更高層次的認(rèn)識(shí)及不同層次的相互滲透來不斷深化我們的認(rèn)識(shí))。另外，從應(yīng)用的角度說，上述的分析則又為人工智能研究的深入發(fā)展指明了方向：這種發(fā)展的關(guān)鍵就在于，如何去創(chuàng)造更高層次的描述，同時(shí)又努力去填平在不同層次間所存在的“鴻溝”。顯然，在這樣的意義上，層次的纏繞所具有的就不只是消極的意義了。這也就是說，如果我們?nèi)匀话堰@種“層次的纏繞”說成是“怪圈”的話，那么，這種怪圈就不再是“偽、惡、丑”，而是一種更高層次上的“真、善美”。事實(shí)上，正如《金帶》的作者所指出的，在巴赫的樂曲及埃舍爾的作品中，我們也可感受到這種更高層次上的美。例如，巴赫的《音樂的奉獻(xiàn)》就是一個(gè)典型的例子。其中，巴赫用一種特殊的技巧構(gòu)成了一個(gè)怪圈：它由三個(gè)音部所組成，當(dāng)最高音部演奏主題時(shí)，其余兩個(gè)音部提供卡農(nóng)式(某種意義上的“重復(fù)”)的協(xié)奏；然后，通過多次的變調(diào)，在結(jié)尾處樂曲又平滑地回到了開頭。而且，它的成功之處就在于，這一怪圈并沒有給人以不和諧的感覺；恰恰相反，它卻使人產(chǎn)生了一種不斷增高的感覺。此外，埃舍爾則用繪畫的形式表現(xiàn)了這種和諧性。他的《逆行(蟹式)卡農(nóng)》被說成“一支看得見的樂曲”，其中，“伴句的旋律與導(dǎo)句的旋律保持逆行的關(guān)系，然而，一切(又)是那樣協(xié)調(diào)、自然?！笔聦?shí)上，《金帶》一書本身也清楚地表明了這樣一點(diǎn)：它所揭示的在藝術(shù)、數(shù)學(xué)等大相徑庭的領(lǐng)域中所存在的驚人的一致性顯然就表明了更高層次上的和諧性(這樣，這種借助于層次的纏繞得以表現(xiàn)的和諧性，與前述的混亂性也就構(gòu)成了一個(gè)怪圈)。

由于《金帶》一書涉及到了音樂、繪畫、數(shù)學(xué)、人工智能、遺傳機(jī)制等如此廣泛的領(lǐng)域，霍夫斯塔特的原著就是一部巨著。為了使更多的讀者能夠從這一出色的著作中得到教益，樂秀成同志將它翻譯并改寫成了一部篇幅不大的書。這一工作凝聚了編譯者的創(chuàng)造性勞動(dòng)，無疑是十分有意義的。由于編譯后的《金帶》仍然不可避免地涉及到了分布于各個(gè)不同領(lǐng)域的大量概念，更由于作者的思想是如此的新穎、深刻，因此，誠如樂秀成同志在《序言》中所說，“要想不費(fèi)功夫或者較輕松地讀通它仍然是做不到的?！?也)不能指望大部分人讀一遍就能看懂全書的內(nèi)容?！钡P者認(rèn)為，這仍是一部值得讀書界反復(fù)閱讀、仔細(xì)領(lǐng)悟的好書。

最后，筆者愿在這里附帶指出《金帶》一書中的一個(gè)小錯(cuò)誤。在該書第8頁中，作者談到了“愛皮梅尼特悖論”，但這事實(shí)上并不是一個(gè)嚴(yán)格意義上的悖論。因?yàn)?，由愛皮梅尼特的斷?“所有的克里特島人都撒謊”)為假，并不能推出“作為克里特島人的愛皮梅尼特就沒有撒謊”的結(jié)論，并只能推出“并非所有的克里特島人(在任何時(shí)候)都是撒謊的”。從而，如果克里特島上除去愛皮梅尼特還有其他人的話(或者說，愛皮梅尼特除去上述斷言還作過別的判斷的話)，愛皮梅尼特所說的這句話就可能為假而不會(huì)導(dǎo)致矛盾。

(《GEB——一條永恒的金帶》，〔美〕道·霍夫斯塔特原著，樂秀成編譯，四川人民出版社一九八四年六月第二次印刷，1.07元)