統(tǒng)一數(shù)學王國的“瘋子們”

朱長超

自從笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分以來，數(shù)學得到了突飛猛進的發(fā)展。數(shù)學的各個分支，如群論、非歐幾何、泛函分析等相繼產(chǎn)生。但不同的分支有不同的數(shù)學語言，隨著數(shù)學分支越來越多，常常是這個分支中的數(shù)學家無法聽懂那個分支中的數(shù)學語言。數(shù)學王國歷來的內(nèi)在和諧被破壞了。面臨著數(shù)學王國四分五裂的局面，20世紀的數(shù)學家迫切地希望系統(tǒng)地整理全部數(shù)學概念，把各個分支有機地統(tǒng)一起來。為此，在本世紀二十年代，法國數(shù)學家阿達瑪組織了一個數(shù)學討論班。參加者經(jīng)常爭論得面紅耳赤，聲嘶力竭，使得有些不知內(nèi)情的人把這個討論班稱為“瘋子的集會”。十多年后，法國出版了署名“布爾巴基”著的《數(shù)學原理》第一卷，以后又陸續(xù)出了第二第三卷，直到現(xiàn)在問世了近四十卷。這套數(shù)學史上最巨大的數(shù)學著作，用嚴密的邏輯方法，整理了迄今為止的全部數(shù)學概念，把山頭林立的各個數(shù)學分支統(tǒng)一成一個和諧的數(shù)學王國。著者“布爾巴基”不是別人，就是那一群喜歡爭論的“瘋子”。

他們是在法國數(shù)學十分落后的情況下挑起這個重擔的。法國曾有過很好的數(shù)學傳統(tǒng)，有過笛卡爾、拉格朗日、伽羅華、彭加勒這樣的出色的數(shù)學家。但是20世紀初期，法國數(shù)學急劇落后，許多優(yōu)秀的人才死于第一次世界大戰(zhàn)中，老一輩的數(shù)學家禁錮在函數(shù)論中，把函數(shù)論當作唯一的圣地，不知當時的俄國學派、波蘭學派等數(shù)學界同行的成就。怎樣才能使今天的數(shù)學王國重新統(tǒng)一呢？他們想首先要了解各門分支的新成就。討論班一經(jīng)成立，就把上年發(fā)表的重要論文分配給有興趣的人，讓他反復鉆研。然后介紹給討論班。例如，當數(shù)學家范德華爾登出色的數(shù)學著作發(fā)表后，討論班馬上加以研究、討論。這樣的討論不斷開闊了參加者的眼界，活躍了他們的思想，逐漸形成了一個充滿活力的布爾巴基學派，為統(tǒng)一數(shù)學王國的事業(yè)打下了基礎。

討論班的第二步工作是以更系統(tǒng)的方法探討數(shù)學各個分支中涌現(xiàn)出來的大量概念，尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，把它們統(tǒng)一起來。數(shù)學史上，歐幾里德曾用若干公理演繹出千百條幾何定律，建立了嚴密的幾何體系；希爾伯特曾從少數(shù)幾個公理出發(fā)，建立了嚴密的數(shù)理邏輯的公理化系統(tǒng)。布爾巴基討論班的科學家們由此得到啟發(fā)，在各個數(shù)學分支的背后一定存在著一些共同的東西，這個共同的東西就是數(shù)學結(jié)構(gòu)。他們設想用數(shù)學結(jié)構(gòu)的思想可以統(tǒng)一數(shù)學王國，因為“不管其外貌如何，數(shù)學學科的內(nèi)在進化，不同部分必定會趨于嚴密的統(tǒng)一。”但是要找到能夠綜合各種分支的結(jié)構(gòu)，必須找到和深入研究各種分支的結(jié)構(gòu)，只有這樣，才能找出各種數(shù)學結(jié)構(gòu)之間的邏輯關(guān)系。這是一件十分艱巨的任務，需要集思廣益、群策群力。為了尋找數(shù)學內(nèi)在的各種結(jié)構(gòu)，布爾巴基小組經(jīng)常進行激烈的爭論。批評是不留情面的，只有在問題搞清楚后大家才又面帶笑容地平靜下來。討論后有了比較一致的意見就讓某個人去起草。一二年后草稿出來了，再在討論班上宣讀，每一頁、每一個證明都要嚴格考察。第一稿否定了，第二個人寫第二稿，第二稿又否定了，第三個人接著干。艱苦的探索使他們終于證實：各個數(shù)學分支果然都有著自己特有的結(jié)構(gòu)，而這些結(jié)構(gòu)都是一些基本結(jié)構(gòu)的結(jié)合，都可以從結(jié)構(gòu)上加以分析。比如，實數(shù)的集合都服從代數(shù)結(jié)構(gòu)。根據(jù)這種代數(shù)結(jié)構(gòu)，任何實數(shù)經(jīng)過四則運算仍為實數(shù)，任何實數(shù)都滿足結(jié)合律、分配律。實數(shù)集合也具有順序結(jié)構(gòu)，任何兩個實數(shù)都可以比較大小，在數(shù)軸上有不同的位置。此外，任何實數(shù)還具有拓撲結(jié)構(gòu)，即兩個實數(shù)之間總有著一定的距離。所以可以說代數(shù)是代數(shù)結(jié)構(gòu)、順序結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)三種結(jié)構(gòu)的組合。并且，他們進一步發(fā)現(xiàn)，各個數(shù)學分支，不管它是多么錯綜復雜，都不外乎這三種結(jié)構(gòu)的組合變化。一切數(shù)學分支都可以用這三種結(jié)構(gòu)加以說明。統(tǒng)一數(shù)學王國的規(guī)律被他們找到了。

經(jīng)過半個世紀的努力，他們寫了近40卷的《數(shù)學原理》。這套書對數(shù)學成就進行了系統(tǒng)的總結(jié)，對數(shù)學各分支進行一次全面的綜合，建立了一座前所未有的巍峨的大廈，統(tǒng)一了數(shù)學王國。