歷史相似性視角下“圓的認識”兩種學習路徑的思考與實踐

隨著HPM（History and Pedagogy of Mathe-matics，數(shù)學史與數(shù)學教育）研究工作的深入，歷史相似性原理正逐漸為廣大中小學教師所接受并付諸教學實踐。歷史相似性的實證研究具有重要意義，不僅能夠清晰地還原數(shù)學的演進歷程，深刻地揭示火熱的歷史動因，而且可以有效地幫助學生跨越學習數(shù)學的認知障礙，為數(shù)學教學改革提供寶貴的歷史經驗[1]。在教學實踐中，歷史相似性能為教學設計與實施提供知識、素材、方法和路徑的支持。然而，在一些活動中，教師只關注數(shù)學史作為知識、素材的一個側面，數(shù)學史及其歷史相似性的價值有待進一步挖掘。為此，筆者以“圓的認識”一課為例，在分析、思考的基礎上，開展了教學實踐。

一、“圓的認識”中的歷史相似性

（一）歷史相似性在教學中的應用。

近年，中國HPM研究團隊基于歷史研究、調查研究等方法，實證了歷史相似性的客觀存在[1]。有研究者認為，對于歷史相似性在教學中的應用，相較于局部相似，更應該倡導整體相似的研究思路，也就是以數(shù)學史專業(yè)研究的已有成果為基礎，從整體上研究把握數(shù)學發(fā)展某一方面的歷史脈絡，教學設計追求歷史認識過程與學生認知過程整體上的某些相似性[2]。因此，整體相似意味著某一數(shù)學內容的歷史發(fā)生過程與當下學生的認知過程在主要節(jié)點存在相似性，并不代表其順序、內容完全一致。教學中不需要完全復制歷史進程，而應對其中有研究價值的重點和難點問題進行充分探討。此外，還應挖掘歷史進程與學生認知之間的關系，根據(jù)學生的已有水平，設計不同的學習路徑與活動，促進學生思維水平的提升。

（二）群體相似性及其實例。

除了重要節(jié)點的相似，在實際教學中，整體相似另一個層面的含義體現(xiàn)為群體相似性，即同一時間段內，學生群體中不同水平層次的個體對同一教學內容的認知會與歷史上各個不同階段大致對應。以“圓的認識”為例，早期人類對圓的認識經歷了“模仿—操作—比較—思辨”的過程。人們對太陽、月亮、水波、木樁等自然事物或現(xiàn)象進行觀察，模仿其外形制作圓形物品。例如，打磨圓形石塊、制作圓形陶碗。隨后，在操作過程中，人們概括出了圓的要素，并嘗試制作畫圓的工具。例如，在用尖利的石塊鉆孔的過程中，發(fā)現(xiàn)了圓心和直徑（半徑），從而發(fā)明了簡易的畫圓工具并將其逐步改進成圓規(guī)[3]。在此基礎上，人們嘗試從方與圓之間的關系來研究圓。例如，古埃及人分別在正方形和圓中鋪滿谷子來研究兩者的面積之比[4]；阿基米德等古希臘數(shù)學家通過圓的內接和外切正方形來研究圓；劉徽、祖沖之等從圓內接正六邊形出發(fā)，利用割圓術來研究圓。在模仿、操作、比較、思辨的同時，人們嘗試給圓下定義，如我國古代典籍《墨經》和古希臘數(shù)學代表作《幾何原本》中都給出了圓的定義。時至今日，學生在面對相關問題時會有怎樣的表現(xiàn)呢？在一個給出簡單工具（皮筋、回形針、工字釘、線、三角尺、直尺、紙條），要求用盡可能多的方法畫圓的小調查中，六年級學生在畫圓工具和方法的選擇方面，呈現(xiàn)出一定的個體特征。將選用同種方法的個體分成若干個小群體，這些小群體的表現(xiàn)幾乎都能與早期歷史上的主要研究進程形成對應關系，如圖1所示。

（三）學生不同表現(xiàn)的借鑒意義。

如表1，學生在畫圓時，呈現(xiàn)出模仿、操作、比較和思辨這四種不同的方式。出于方便等原因，沿著圓形物品的邊緣描出圓是大多數(shù)學生的首選。但這一方法顯然滿足不了六年級學生的求知欲，約52.08%的學生在描畫的基礎上找到了更加合適的工具和方法，借助簡單的工具形成圓心和半徑，較為準確地畫出了圓，這一方法是站在解決問題的角度加以思考得到的。37.50%的學生還嘗試從數(shù)學對象本身及其相互之間的關系進行理性思考。例如，在正方形的基礎上畫圓，或用三角形拼組的方式畫圓。還有約10.42%的學生借助刻度尺，根據(jù)正多邊形與圓的聯(lián)系與區(qū)別，以正六邊形為基礎，從其中心點出發(fā)畫等長線段作為半徑，連接半徑的另一個端點形成圓，這與《墨經》中圓的定義一致。不同的畫圓方法對應不同的歷史研究進程，也反映出學生對圓的不同認知方式和思維水平，這為設計不同的學習路徑創(chuàng)設了條件。

二、基于歷史相82ebbd47de8ea8e6035a9dec90ad2adae1e08eab7ea6a0f21b61e824b33404e7似性的兩種學習路徑

結合圓的歷史研究進程與學生的認知水平，“圓的認識”一課至少有兩種學習路徑。

一是基于問題解決（用簡易工具畫圓），從實踐方法中發(fā)現(xiàn)并概括圓的要素和特征。這是一種以歸納為主的學習路徑，主要包括：嘗試根據(jù)提供的簡單工具畫圓，展示作品并相互評價；比較不同畫法的優(yōu)點和缺點，提出改進意見并再次嘗試畫圓；總結用不同工具畫圓的共同之處，體會畫圓的要點；概括圓的兩大要素——圓心和半徑，發(fā)現(xiàn)半徑的特點。

二是根據(jù)對方與圓兩者之間關系的思辨，在正多邊形和圓的比較中（主要是中心點到邊的距離），通過類比的方式將圓納入已有的平面圖形體系中。這一學習路徑體現(xiàn)了同化思想，主要包括：觀察比較，整體感知正六邊形、正十二邊形與圓之間的關系；嘗試以正六邊形為基礎畫出正十二邊形，討論畫等長線段的方法，猜想繼續(xù)畫會得到什么圖形；觀察等長線段的端點圍成的圖形（圓），討論與圓規(guī)畫圓的異同；解讀圓的概念，體會方與圓之間的關系，借助割圓術感受極限思想。

三、兩種學習路徑的教學實踐與分析

（一）學習路徑一：操作簡易工具畫圓，歸納共性形成概念。

人們對圓的特征的研究貫穿于對圓的觀察、描摹和運用工具畫圓的過程中。學生經歷類似的過程，有助于在實踐經驗總結概括的基礎上，形成圓的概念，把握圓的要素及其特征。

課始，教師出示古巴比倫泥板上近似于圓的圖形，并請學生猜猜當時的人們可能是怎樣畫圓的。隨后，請學生借助簡易工具（皮筋、回形針、工字釘、棉線、紙條等）嘗試畫圓。學生獨立完成后上臺演示并介紹自己的畫圓工具、方法和結果。通過演示，學生發(fā)現(xiàn)沿著皮筋里面一圈描時，皮筋是軟的而且容易移動，因此畫不圓。如果把皮筋套在工字釘上，再套上鉛筆拉緊后旋轉，也會因為皮筋的長度易變化而畫不圓。而改用回形針代替皮筋，則可以避免因彈性而導致長度不一致的問題，按上述方法就可以畫出圓。也有學生用棉線或紙條代替回形針畫出了更大的圓。

教師引導學生對剛才成功或失敗的案例進行比較和分析，從中概括出畫圓的要點及圓的要素。學生認為畫圓時先要有一個固定的中心點，且筆尖到中心點的距離必須保持不變。教師肯定學生的想法，并指出在數(shù)學上這個中心點就是圓心，這個不變的距離叫作半徑。隨后請一名學生上臺示范找出已知圓的圓心和半徑的方法，并請其他學生表達看法。學生發(fā)現(xiàn)在一個圓內可以畫無數(shù)條半徑，因為半徑是圓心和圓上的點相連而成的線段，圓上的點有無數(shù)個，半徑就有無數(shù)條，并且同一個圓的半徑都相等。

最后，教師出示《墨經》中的“圓，一中同長也”，以及《幾何原本》中的“圓是由一條線圍成的平面圖形，其內有一點與圓上的點連接所成的所有線段都相等”。學生通過理解與對比，發(fā)現(xiàn)這兩種描述都涉及圓心與半徑這兩個核心要素。至此，學生已經對圓心和半徑及其重要性有了深刻的認識[5]。

（二）學習路徑二：整體類比感知聯(lián)系，猜想驗證概括特征。

我國古代廣為流傳的“天圓地方”觀念，不論是從客觀現(xiàn)象還是意識形態(tài)的角度，都說明人們對方與圓兩者之間關系的思辨。在“圖形與幾何”領域，這是一個重要的內容，阿基米德和劉徽等人的研究就是很好的例證。同時，這是學生非常容易接觸到并能引發(fā)關注和思考的話題。

教學開始，教師分別呈現(xiàn)正六邊形、正十二邊形，再逐漸增加邊數(shù)，最后呈現(xiàn)圓，使學生整體感知其中的變化過程和各圖形間的相互關系。隨后，請學生以正六邊形為基礎，畫出正十二邊形。教師展示學生的兩種畫法，即在正六邊形外圍畫十二條線段和以正六邊形的中心點為端點畫六條垂直于邊的等長線段，再比較哪種方法更合理。經過討論，學生普遍認為后者更加嚴謹、規(guī)范。在得出結論之后，請學生猜想：繼續(xù)畫這樣的等長線段，可能得到什么圖形？學生在提出猜想后繼續(xù)作圖并總結：按照這樣的方法，等長線段越多，正多邊形的邊也就越多，就越接近圓。當這樣的線段有無數(shù)條時，無數(shù)個端點的連線就形成了圓。隨后，教師請學生對比正六邊形和圓，說說它們的異同點。學生認為兩者的共同點是都有中心點和等長線段，但正六邊形中這樣的等長線段只有六條，而圓中則有無數(shù)條。

在感知、操作、猜想、驗證、想象、類比等活動的基礎上，教師出示《墨經》中的“圓，一中同長也”，請學生結合活動經驗說說對這句話的理解，隨后給圓心和半徑命名。有了這些活動的支持，圓中原本隱藏的圓心與半徑這兩大要素及半徑的特征不言自明，學生對圓的概念的理解也就水到渠成了。最后，教師介紹劉徽的割圓術，幫助學生梳理整個研究過程，并借此滲透極限思想，使學生認識到正多邊形與圓之間可以相互轉化是一個明確的事實。

（三）兩種學習路徑的效果分析。

在上述教學實踐中，“圓的認識”的兩種學習路徑都能契合學生某方面的認知基礎，均可順利達成教學目標，并從不同側面發(fā)展學生的素養(yǎng)。

路徑一的優(yōu)勢在于以問題解決為方式和目標，容易調動學生的生活經驗，激發(fā)學生的學習興趣，具有較強的內在驅動力，學習過程注重實踐操作，可以生成多種表象作為研究素材，活動形式豐富多樣，生動、直觀，能吸引更多學生參與；不足之處在于學生的認知容易停留在感知層面，不利于進一步抽象圓的要素和特征，并且，因為圓的作圖方式不同于已知的平面圖形（多邊形），容易使其孤立于其他已知平面圖形之外，會對后續(xù)的學習帶來一定的障礙。

路徑二的優(yōu)勢在于學習過程嚴謹，圓心、半徑等要素貫穿于研究過程的始終，無須額外提取。同時，將圓與正多邊形緊密聯(lián)系在一起，通過類比和同化，使之納入平面圖形的體系之中。這一方面解釋了學生心中關于方與圓兩者之間關系的疑惑，另一方面為后續(xù)研究圓的周長、面積等內容提供了客觀事實與思想方法的依據(jù)。但這一路徑在初始階段過于數(shù)學化，容易使部分學生望而生畏。若能在之前補充正多邊形相關內容的學習，則更有利于學生形成研究思路。

實踐表明，學生形成數(shù)學概念的基礎、來源和方式是多角度、多渠道的，合理分析和利用歷史相似性可以為教學提供不同的思路。在借助數(shù)學史料進行學習路徑設計的過程中，不應隨意實行“拿來主義”，而應充分了解并準確把握學生的認知基礎和特點，在數(shù)學史料和學生認知之間找到契合點，使教學活動的設計有據(jù)可依，進而從不同角度豐富學生的認知途徑。在選用不同的路徑開展教學實踐時，也不能貪多求全，而應有針對性地結合班級學生的已有水平和學習習慣加以選擇，實現(xiàn)知識的邏輯順序、知識的歷史發(fā)展順序和學生的認知發(fā)展順序的一致性。當然，也可以在現(xiàn)有水平的基礎上，嘗試進行突破，將不同的學習路徑進行整合，從整體的角度，兼顧數(shù)學學習的感性和理性兩個層面。特別是在高年級的教學中，教師應當在考慮整體需求的基礎上，進一步主動挖掘教學內容的歷史依據(jù)和內在邏輯，嘗試幫助學生進行更多的理性思考，促使學生的數(shù)學思維向更高的水平層次發(fā)展，以適應未來學習的需要。

參考文獻：

[1]余慶純，汪曉勤.中國HPM研究內容與方法[J].數(shù)學教育學報，2022，31（4）.

[2]曹培英.民族文化促進數(shù)學理解例談：兼議HPM的實踐探索[J].小學數(shù)學教師，2021（2）.

[3]擺超.數(shù)學史融入小學“圓”單元教學的課例研究[D].信陽：信陽師范學院，2022.

[4]張敏.從“以方測圓”到“化曲為直”：HPM取向的《圓的面積》教學[J].教育研究與評論（小學教育教學），2021（6）.

[5]李建良，岳增成.讓數(shù)學概念在學生手中“復活”：HPM視角下“圓的認識”教學思考與實踐[J].小學數(shù)學教師，2022（11）.

（作者單位：浙江杭州市蕭山區(qū)夾灶小學） Y