深度學習：讓學習真正發(fā)生
——《三角形的三邊關系》一課的教學實踐與思考

湖南長沙市長沙縣教育研究培訓中心 鄒旭紅

隨著“大數(shù)據(jù)”時代的來臨和人工智能與人機交互的大踏步前進，“深度學習”已成為社會生活的重要內(nèi)容，并被廣泛運用到教育教學領域。鄭毓信教授在《以“深度教學”落實數(shù)學核心素養(yǎng)》一文中，強調(diào)學生的數(shù)學學習應當成為一種“深度學習”，其核心在于：不應停留于單純知識（包括數(shù)學基礎知識和數(shù)學基本技能）的學習，而應通過具體知識內(nèi)容的學習促進自身思維的發(fā)展，特別是應當不斷提升自身思維的品質，包括由“理性思維”逐步走向“理性精神”。并指出只有教師真正做到了“深度教學”，我們的學生才可能做到“深度學習”，提升核心素養(yǎng)。那么，如何才能有效地促進學生理性地思維，實現(xiàn)“深度學習”呢？下面，以《三角形三邊關系》一課為例來談談自己的思考。

三角形兩邊之和大于第三邊，這一結論對于四年級的學生來說淺顯而直白，沒有很高的知識含量。正如曹培英老師說過：三邊關系用線段公理直接推理就是，無須證明，這是連動物都知道的事實。實際教學中理想與現(xiàn)實卻是背道而馳的，學生對于這樣的事實理解是很有難度的。其難點就在于：討論三角形邊的關系是從一個新的視角思考問題，即為什么要把兩條邊加起來與第三邊作比較？如果直接給定一個三角形講解結論，學生只用5分鐘就能理解并能運用結論進行判定，但這樣的教學僅僅是“知道”而已，并沒有“思維”的價值，如何才能真正驅動學生深入地思考、實現(xiàn)深度學習？選用其中一個教學片段來分析。

一、過程回放;

（一）“圍”三角形，直觀感受“邊”的“長短”影響“三角形”的形成

師：老師這準備長度分別為2厘米、6厘米、9厘米的三根小棒，誰能上來圍一個三角形？

（展示臺上演示）

生：圍成了

生：不行

師：是的，圍三角形是有要求的。要像這樣，三根小棒要首尾相連才行，這樣，三角形三條邊的長度才剛好是三根小棒的長度。（邊說邊用手指黑板）

（二）提出問題，操作探究，感知三角形第三邊取值范圍

師：那剛剛的三根小棒能不能按這樣的要求圍成三角形呢？

生：不能。

師：想要把這三根小棒圍成三角形，要怎么辦？

生：把紅色的小棒變長。

師：那固定了6厘米和9厘米，第三條線段在什么范圍內(nèi)就能圍成三角形呢？要來研究這個問題，你們有什么好辦法嗎？

生：找其他小棒試一試。

師：這個主意好！可是老師沒有準備那么多紅色小棒，只帶了這個。（出示直尺）認識嗎？

生：直尺

師：沒錯，誰能帶上數(shù)學的眼光再看看。

生：上面有線段。

師：你在上面找到了哪些長度的線段？

生1：7厘米、8厘米……

生2：0到20厘米。

師：不同長度的線段找到了，把尺子上跟兩根小棒相接的那一段作為第三條線段的長度，（手拿尺子演示）你能想象出圍成的三角形嗎？真能？那我們來試一個。

展示臺上演示：

師：誰上來指指第三條邊在哪？圍成的三角形又在哪？現(xiàn)在第三條邊是幾厘米？

生：12厘米。

師：再想象下，將兩條邊張開得越大，紅色小棒就——越長，兩邊張開得越小，紅色小棒就——越短。

師：看樣子都明白了。那咱們試試吧，可問題是，我們得試哪些長度呢？

生：3厘米、9厘米……

師：說了這么多長度，怎么沒人想試1厘米呢？

生：因為2厘米都圍不成，1厘米更圍不成。

師：你特別會學習，能從剛剛的學習中尋找經(jīng)驗，了不起！也就是說只要試比——

生：比2大的長度。

出示板貼：

師：為了方便研究，那我們就先從2以上整厘米的長度開始研究。

……

（三）flash動畫演示，合情推理，突破難點

師：為了幫助大家理解，老師帶來了一個神奇的三角形。這是第三邊為12厘米時圍成的三角形，如果我拉動這條邊，它是會變的哦，想看嗎？

生：想。

師：見證奇跡的時刻到了。（教師操作課件，拖動紅色的線段）

師：長了嗎？13厘米是可以的，繼續(xù)拉長，這個三角形的樣子好像在變哦。

師：14也是可以的，這個三角形變得越來越——

生：越來越扁了。

師：繼續(xù)拉長到14.95cm、14.97cm、14.98cm、14.99cm呢？（學生想象、交流）

剛剛有人說15厘米可以，想象下，如果拉長到15厘米，會是什么樣？（學生思考、交流）

動畫演示驗證：

生：平了（成一條線）。

師：15厘米可以圍成三角形嗎？

生：不可以。

師：果然跟你們想的一樣，看來我們要把這個問號擦掉了，可以肯定15厘米是不行的。（教師更改板書）你們真厲害，如果再長一點點呢？會是什么樣？

生1：會連不上。

生2：會回去。

師：是不是跟你們想的一樣呢？

動畫演示：

師：它怎么了？

生：斷掉。

師：為什么會這樣呢？

生：紅色的太長了，那兩條線段連不上了。

師：想要拉上怎么辦？

生：往回拉。

師：好，那我們往回拉試試看（教師操作課件：開始回拉）什么時候又會出現(xiàn)三角形呢？

生1：14.9。

生2：14.99也行。

師：你們想得越來越精準了，也就是說——

生：只要比15小就行了。

師：概括得真好，掌聲。

師：三角形又出現(xiàn)了，繼續(xù)變短，11、10、9…都是可以的，再看看這個三角形，變得越來越——

師：剛剛3厘米我們是存在爭議的，認為3厘米不能圍成的請坐好，認為3厘米能夠圍成的請起立。

師：我們繼續(xù)看，三角形的樣子又變了！它好像又要——

生：倒了。

師：3到底能不能圍成？（學生思考、交流）

生1：我覺得到了3厘米就又成為一條線段，圍不成了。

生2：我覺得到了3厘米就又平了。

師：能圍成嗎？

生：不能。

師：3厘米的時候啊，也是圍不成三角形的。如果繼續(xù)變短呢？

生：更不能圍成。

（四）歸納推理，建立三角形三邊關系模型

師：除了把紅色的小棒適當延長能圍成三角形，剛剛你們還想了什么辦法？

生：換另一條邊。

師：那就固定2厘米、6厘米兩根小棒，那第三條邊的范圍是多少呢？

生：比4大，比8?。ń處煱鍟?＜□＜8）。

師：為什么？

生：2加6等于8（教師板書：6+2）

師：8也就是這兩條邊的和。那4呢？

生：6-2。

師：其實也就是這兩條邊的差。（教師板書：6-2）

師：那我們就帶著這種感覺繼續(xù)來看，如果固定2厘米、9厘米這兩根小棒，你能很快想出第三邊的范圍嗎？

生：大于7，小于11。

師：7怎么來的，11呢？

生：9減2等于7，9加2等于11。

師：同學們，探究到這，能說說你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

小結：看來啊，要圍成三角形，第三條邊最長要比另兩邊之和小，最短要比他倆的差要大。

二、思考與認識

1.改進學習材料，搭建思維階梯，驅動學生思考

為什么我們選擇操作實驗的路徑來教學“三角形三邊關系”時，學生總是很難將思維聚焦于兩邊之和與第三邊的關系上。難道真的是路徑選擇錯誤，只能用初中的線段公理教學嗎？縱觀以往的各種教學案例，我們就發(fā)現(xiàn)，大部分教師在課堂上都是提供幾組任意長度的三條線段（或是用一根整厘米的線段來任剪三段）讓學生操作探究，我想這才是導致學生學習難點產(chǎn)生的根本原因。因為從數(shù)學本質上分析，這里涉及一個三元函數(shù)的問題，當我們選取任意的三條線段的長度a、b、c時，就等同于函數(shù)的三個變量。找到問題的癥結就好辦了，只需順應學生思維，改進學習材料即可。因此，將實驗設計成固定長度為9cm和6cm的藍、綠兩根小棒，用直尺代替第三根（紅色）小棒，只觀察第三根小棒的長度范圍。學生在操作、觀察、驗證的過程中，直觀地發(fā)現(xiàn)第三條線段超過15厘米時，藍、綠兩根小棒就接不上，不能圍成三角形，比3厘米短時，藍、綠兩根小棒就會有凸出來的部分，也圍不成三角形。由此，就幫助學生在思維阻滯處搭建了一個腳手架，讓其順理成章地感知要圍成一個三角形，就必須用“兩邊的和與第三邊比較”。

“深度學習”的課堂倡導數(shù)學課要有濃濃的思考味，就須想得更清晰、更全面、更深刻，達到“理性地思維”。于是，在第一個操作實驗后，教師在學生對三邊關系有了初步感知的基礎上，繼續(xù)引發(fā)深度思考，接著追問：想想看，如果固定長度為2cm和6cm紅、綠兩根小棒，那么第三根小棒的長度范圍是多少？學生原來覺得已經(jīng)清晰的認知，再次遇到阻礙，又陷入沉思之中。經(jīng)過獨立思考、師生交流，再次建立認知平衡，藍色小棒要在4cm和8cm范圍內(nèi)。到這個環(huán)節(jié)，應該說學生聯(lián)系前面的經(jīng)驗，通過想象，再到動畫的演示驗證，已基本理解了第三條邊的取值范圍，但離深刻理解三角形三邊關系性質還有距離。在此基礎上，教師有了第三次追問：如果紅、藍兩邊不變，綠色邊的長度又在什么范圍？通過一而再地追問，給學生不斷地搭建思維的新臺階，促使學生將新積累的經(jīng)驗積極地遷移到新的問題中，使學生的思考更全面、更理性，對知識的建構更深刻。

2.借助信息技術，聚焦學生思維，巧妙突破難點

采用數(shù)學實驗操作探究三角形三邊關系這一方法時，在教學中有一個難點：當兩邊之和等于第三邊時，由于小棒不夠細，學生經(jīng)常誤以為是能夠圍成的。而老師在此環(huán)節(jié)頗費心思：有的不斷改進學具，從小棒到牙簽，要多細有多細；有的則反其道而行，改用透明膠片或長方形紙條，同時輔助多媒體、放大鏡試圖減少誤差，讓學生觀察到還有一點縫隙，此時是不能圍成三角形的。老師煞費苦心，效果卻差強人意。須知在數(shù)學學習過程中任何一個深刻的理解不可能是一蹴而就的，只有學生在學習活動過程中及時加以調(diào)整和修正，澄清關于這個知識的疑慮，才能形成正確的數(shù)學知識。“兩邊之和等于第三邊是不能圍成三角形的”這個難點的突破也經(jīng)歷這樣一個過程。在操作探究后對于兩邊之和能不能圍成三角形，學生思維是有疑慮的，大部分學生在操作、觀察的基礎上認為是能圍成的。這個環(huán)節(jié)，教師不急于給出方向的引導，而是“慢”下來，讓學生的思維在此處“飛”了一會兒。先用動畫演示：當紅色線段依次為12cm、13cm、14cm長度時，觀察三角形有什么變化，并及時追問：想想繼續(xù)拉長到14.5cm、14.9cm時，三角形又會怎么變？繼續(xù)拉長到14.95cm、14.97cm、14.98cm、14.99cm呢？如果不拉你能想象到三角形的變化嗎？等學生腦中逐步有了圖像，再用動畫演示驗證。這樣通過不斷調(diào)整、修正，使得學生思維發(fā)展從混沌到清晰有了可能。在這個基礎上接著追問：“如果拉長到15會怎么樣？”通過一系列的問題引發(fā)學生的思考和想象，再用動畫驗證，層層遞進，突破難點，把三角形三邊知識一步步引向深入。在學生思維困頓之處，留時間，給空間，搭支架，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、糾正和補充錯誤或片面的認識，加深對所學內(nèi)容的理解。

總之，小學數(shù)學教學應圍繞“讓學習真正發(fā)生”來充分展開，深度關注新知識本身蘊含的潛在意義、學生的背景知識和情感體驗、學生學習的認知策略，讓新知識的組織與呈現(xiàn)方式交融在一起，學生的學習才會顯得更具生命力。?