一種對稱損失下Rayleigh分布參數倒數的Bayes估計

李權權

(吉林師范大學 數學學院,吉林 四平136000)

1 引言

Rayleigh分布R(σ)是一類重要的壽命分布，它是威布爾分布W(μ,α,β)的重要成員.Rayleigh分布的密度函數是f(x,σ)=2xσe-x2σ，σ>0.

定義1 設隨機變量，如果X1,X2,…,Xn為容量為n的隨機樣本，則x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的實現值.

令θ=1σ，則有f(x1,x2,…,xn|θ)=

(2θ)n∏ni=1xie-θ∑ni=1x2i.在對稱損失函數[1]

L(θ,δ)=(θδ-δθ)2=θδ+δθ-2

(1)

意義下考慮參數θ的估計，其中δ是θ的判決空間中的一個估計，這個損失函數L(θ,δ)關于δ是嚴格凸函數，并且在δ=θ處取得唯一的最小值.

2 可靠度θ的Bayes估計

對任意先驗分布，θ的Bayes估計δB(x)=[E(θ-1|x)(E(θ|x)]12由下面定理得到.

定理1 在損失函數(1)下，對于任何先驗分布，θ的Bayes估計為

δB(x)=[E(θ-1|x)(E(θ|x)]12

(2)

這里的x=(x1,x2,…,xn),若δB(x)的Bayes風險有限，則它還是唯一的Bayes估計.

證明L(θ,δ)=θδ+δθ-2，令δ(x)為θ任一估計，其Bayes風險為

R(θ,δ)=E(L(θ,δ))=E[E(θδ+δθ-2)].

上式的左端表示關于θ的聯合分布取期望，欲使R(θ,δ)達到最小，只須后驗風險達到最小,由于

E(θδ+δθ-2)=
1δE(θ|x)+δE(θ-1|x)-2.

(3)

對(3)式關于δ求導并令其為0，解得

δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12.

由h(δ)的自身性質可知，δ=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12是唯一最小值點，從而得到δ的Bayes解為

δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12.

考慮在給定先驗分布π(θ)后，參數θ的Bayes估計的精確形式.

設參數θ服從Γ分布Γ(α,λ),密度函數為

f(θ∶α,λ)=λαΓ(α)(1θ)α+1e-λθ.

下面以定理的形式給出θ的精確Bayes估計.

定理2θ的先驗分布Γ(α,λ)取在損失函數(1)下，其分布參數θ的Bayes估計為

δB(X)=[(α+n)(α+n+1)/
(λ+∑ni=1x2i)2]-12

(4)

證明θ的后驗密度

π(θ|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
θn+α+1·e-θ(λ+∑ni=1x2i)∝θn+α+1e-θ(λ+∑ni=1x2i)

(5)

可見后驗分布服從Γ(n+α,λ+∑ni=1x2i)從而有

π(θ-1|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
((λ+∑ni=1x2i)n+α-1/Γ(n+α-1))
π(θ|x)=((λ+∑ni=1x2i)n+α/Γ(n+α))·
((λ+∑ni=1x2i)n+α+1/Γ(n+α+1))

由后驗分布通過(2)式求得δB(x)=[E(θ-1|x)E(θ|x)]12=

[(α+n)(α+n+1)/(λ+∑ni=1x2i)2]-12.

引理1[3]在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗分布π(θ)，θ的Bayes估計是唯一的，則它是容許估計.

由于對稱損失函數(1)是嚴格凸函數，其Bayes估計必是唯一的，由引理1可知，Bayes估計δB(x)亦是可容許估計.

由后驗分布(5),就可求得θ的置信水平為1-α的Bayes置信下限.

定理3 對于Rayleigh分布，給定Γ(α,λ)先驗分布和對稱損失函數(1)下,θ的置信水平1-α的Bayes置信下限為θ，θ滿足如下表達式α=Iθ(λ+∑ni=1x2i,α+n)其中Ix(a,b)=∫x0aΓ(b)θb-1e-αθdθ.

證明θ的置信水平1-α的Bayes置信下限為θ滿足1-α=∫∞θπ(θ|x)dθ=1-

∫θ0(λ+∑ni=1x2i)n+αΓ(α+n)θθ+n-1e-θ(λ+θ∑ni=1x2i)dθ=1-Iθ(λ+

∑ni=1x2i,α+n),α=Iθ(λ+∑ni=1x2i,α+n).

3 可靠度θ的多層Bayes估計

由定理2給出θ的Bayes估計δB(x)中仍然含有超參數α,λ，若無歷史數據，α,λ仍是未知的.可以把超參數α,λ看成隨機變量，選擇合適的先驗分布，求出θ的多層Bayes估計.

對Rayleigh分布，取θ的先驗分布為Γ(α,λ)，密度函數為

f(θ∶α,λ)=λαΓ(α)(1θ)α+1e-λθ

(6)

其中α>0,λ>0為兩個未知的超參數，并設其相互獨立,利用減函數法構造超參數α,λ的先驗分布[4]，取α,λ的超先驗分布密度分別為如下的均勻分布：

π2(α)=U(0,1),π2(λ)=U(0,c)

(7)

其中c為常數對這樣的兩層先驗分布，θ的兩層Bayes估計由以下定理4給出.

定理4 對于Rayleigh分布，給定上述兩層先驗分布和對稱損失函數(1)下，θ的兩層Bayes估計為

δB(x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α+1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ.

證明由(6)，(7)可得θ的先驗分布為

π(θ)=∫c0∫10π1(θ|α,λ)π2(α)π2(λ)d?=

1c∫c0∫10λαθα-1e-λθΓ(α)dα.

從而得θ的后驗分布為

π(θ|x)=π(θ)f(θ|x)∫∞0π(x)f(θ|x)dθ=

∫c0∫10(λαθn+α-1e-θ(λ+∑ni=1x2i)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+

α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α)) dαdλ

進一步可求得π(θ-1|x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α))dαdλ.

π(θ|x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α+11)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α)/Γ(α))dαdλ.

所以δB(x)=∫c0∫10(λαΓ(n+α-1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α-1)/Γ(α))dαdλ/∫c0∫10(λαΓ(n+α+1)(λ+∑ni=1x2i)-(n+α+1)/Γ(α))dαdλ.

參考文獻：

[1]王亞芬,對稱損失下二項分布的Bayes估計[D].長春:吉林大學,2002.

[2]韋博成.參數統(tǒng)計教程[M].北京:高等教育出版社,2006.

[3]茆詩松,王靜龍,濮小龍.高等數理統(tǒng)計[M].北京:高等教育出版社,2006.

[4]韓明.多層先驗分布的構造及其應用[J].運籌學與管理,1997,6(3):31-40.