絕熱捷徑技術在糾纏制備中的對比研究

鄧燦，計新

(延邊大學 理學院， 吉林 延吉 133002 )

0 引言

量子糾纏是量子計算和量子通信的基礎，目前被廣泛應用于密鑰分配[1]、隱形傳送[2]、密集編碼[3]等領域.如何通過精確控制光子、原子等微觀粒子制備出高保真度的糾纏一直是學者研究的主要內容.研究[4-5]顯示,利用絕熱演化可以精準地制備出高保真和對環(huán)境魯棒的糾纏，但該方法因受到絕熱近似的限制，使得量子系統(tǒng)的演化時間非常長，進而會導致退相干、損耗以及噪聲積累等.2010年，陳璽等[6]首次提出了加速絕熱演化過程的絕熱捷徑技術，并引起諸多學者的關注.近年來，學者們在陳璽等研究的基礎上又提出了多種絕熱捷徑技術，主要有 Lewis -Riesenfeld (LR)不變量[7-8]、無躍遷量子驅動[9-10]、超絕熱迭代[11-12]以及綴飾態(tài)[13-14]等.目前，絕熱捷徑技術已廣泛應用于邏輯門構建[15]、糾纏制備[16]、原子冷卻[17]、量子退火[18]、光機械[19]等領域，而且還由絕熱捷徑技術引申出了量子限速[20]、不確定性關系[21]、多重薛定諤繪景[11]以及最大冷卻速率[22]等概念.但目前為止，對LR不變量、無躍遷量子驅動、超絕熱迭代以及綴飾態(tài)這4種絕熱捷徑技術進行對比分析的文獻尚無報道，為此本文在介紹這4種絕熱捷徑技術的基礎上，從制備速度、保真度、激勵脈沖、布居轉移情況以及對環(huán)境的魯棒性等方面對這4種絕熱捷徑技術制備糾纏態(tài)的方案進行對比分析，以為在實際應用中選擇合適的糾纏制備方案提供參考.

1 4種絕熱捷徑技術的原理

1.1 LR不變量

LR不變量理論由Lewis和Riesenfeld[9]于1969年提出，該理論適用于由含時哈密頓量H(t)驅動演化的量子系統(tǒng)，系統(tǒng)的含時厄米不變量算符I(t)滿足

(1)

(2)

當系統(tǒng)的初態(tài)恰好是不變量的某個本征態(tài)時，系統(tǒng)會一直沿著初態(tài)演化而不會躍遷到其他的本征態(tài)，因此利用不變量的本征態(tài)可以構建出驅動系統(tǒng)演化的哈密頓量.構建該哈密頓時，可先對系統(tǒng)實施一個如下的幺正操作：

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(4)

若I(0)與H(0)不對易，則I(0)的本征態(tài)|Φn(t)〉與H(0)的本征態(tài)不相同.同理，若I(tf)與H(tf)不對易，則I(tf)的本征態(tài)|Φn(tf)〉與H(tf)的本征態(tài)也不相同.因此，通過設置[H(0)，I(0)]=0和[H(tf)，I(tf)]=0， 即可實現(xiàn)系統(tǒng)哈密頓量的本征態(tài)和不變量的本征態(tài)在初始時刻和最終時刻相同，由此實現(xiàn)量子態(tài)布居的完美轉移.

1.2 無躍遷量子驅動

無躍遷量子驅動方法由Berry[9]于2009年提出，該理論適用于研究含時量子系統(tǒng)，控制系統(tǒng)演化的原始哈密頓量H0為

(5)

H0的絕熱近似解為|ψn(t)〉=ei ξn(t)|n(t)〉， 式中ξn為絕熱相位，其表達式為

(6)

(7)

將式(7)代入HC D(t)得：

H(t)=H0(t)+HC D(t),

(8)

(9)

其中,HC D是非對角的厄米算符.當t<0和t>tf時，HC D(t)項變?yōu)?. 此時|n(t)〉可視為無躍遷哈密頓量H(t)的本征態(tài)，則無躍遷哈密頓量可以表示為

(10)

1.3 超絕熱迭代

1987年， Berry[23]首次提出了超絕熱迭代的概念.2012年， Ibanez等[11]在絕熱迭代的基礎上構建了絕熱捷徑通道，該技術使用的仍是一個由含時原始哈密頓量驅動演化的系統(tǒng)，其演化過程滿足薛定諤方程

i? ?t|ψ0(t)〉=H0(t)|ψ0(t)〉.

(11)

(12)

然后結合式(11)和式(12)給出了如下相互作用繪景方程：

i? ?t|ψ1(t)〉=H1(t)|ψ1(t)〉.

(13)

(14)

然后通過構建A0(0)=1， 使|ψ1(0)〉=|ψ0(0)〉成立，由此態(tài)函數(shù)可從|ψ0(t)〉=A0(t)|ψ1(t)〉演化為如下形式：

(15)

(16)

然后結合式(13)和式(16)給出了如下二次相互作用繪景方程：

i? ?t|ψ2(t)〉=H2(t)|ψ2(t)〉.

(17)

(18)

(19)

1.4 綴飾態(tài)

(20)

(21)

(22)

2 4種絕熱捷徑技術的對比

2.1 基于LR不變量的糾纏態(tài)制備

LR不變量技術最大的特點是在不改變原始哈密頓的形式下，可通過直接設計驅動脈沖的方式來加快制備糾纏態(tài)的速度，但在當前的實驗條件下難以獲得該驅動脈沖.本文基于控制變量的物理思想，對Wu等[24]和Huang等[25]在腔光纖耦合系統(tǒng)下基于LR不變量制備糾纏態(tài)的方案(特別是數(shù)值模擬結果部分)進行了對比分析，如表1所示.在表1中：tf為糾纏達到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為驅動脈沖的拉比頻率；λ、ε、υ、g為設置的相關參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ間的關系(在短光纖極限下，由于光纖光子泄漏對保真度的影響近似為零，因此只需考慮γ和κ對保真度的影響).

表1 基于LR不變量技術制備糾纏態(tài)的方案對比

2.2 基于無躍遷量子驅動的糾纏態(tài)制備

無躍遷量子驅動的關鍵是如何構造無躍遷哈密頓量HTQD， 雖然無躍遷量子驅動技術對激勵脈沖沒有嚴苛的要求，但因在當前的實驗條件下無法直接構造出無躍遷哈密頓量，因此只能通過引入輔助能級、失諧量等方式才可構建出與無躍遷哈密頓量等效的任意物理可行哈密頓量HAPF.本文基于控制變量思想，對比分析了Huang等[27]和Chen等[28]在腔耦合模型下基于無躍遷量子驅動技術制備糾纏態(tài)的方案，如表2所示.在表2中：tf為糾纏達到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為驅動脈沖的拉比頻率； Ω0為驅動脈沖的振幅；t0、tc為設置的參數(shù).F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關系.

表2 基于無躍遷量子驅動技術制備糾纏態(tài)的方案對比

2.3 基于超絕熱迭代的糾纏態(tài)制備

超絕熱迭代技術首先是通過設計迭代相互作用繪景得到一系列的哈密頓函數(shù)，然后再從中選擇適用于特定目的的哈密頓函數(shù).利用該方案構建的超絕熱哈密頓量與原始哈密頓量具有相同的形式，且制備出的目標態(tài)與原始哈密頓制備出的目標態(tài)也相同，但系統(tǒng)在演化過程中其激發(fā)態(tài)的布居很高，導致系統(tǒng)的耗散較大.本文基于控制變量的物理思想，對比分析了Huang等[29]和Wu等[30]在腔耦合模型下基于超絕熱迭代技術制備糾纏態(tài)的方案，如表3所示.表3中：tf為糾纏達到最高保真度時系統(tǒng)的演化時間； Ω(t)為脈沖的拉比頻率；τ、χ為相關的參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關系.

表3 基于超絕熱迭代技術制備糾纏態(tài)的方案對比

2.4 基于綴飾態(tài)的糾纏態(tài)制備

綴飾態(tài)方案在不需要額外耦合的情況下即可實現(xiàn)對絕熱過程的加速，同時通過選取合適的可控參數(shù)可以減少中間態(tài)的布居，從而減少系統(tǒng)的耗散和提高目標態(tài)的保真度.但在實際應用中，綴飾態(tài)方案所應用的系統(tǒng)可能會沿未知路徑演化，由此會使得中間態(tài)的布居不受控制，進而增加系統(tǒng)耗散.基于控制變量的物理思想，本文對比分析了Kang等[31]和Zhang等[32]在超導量子干涉裝置中基于綴飾態(tài)制備糾纏態(tài)的方案，如表4所示.在表4中：tf為操作時間； Ω(t)為脈沖的拉比頻率；ζ、τ、χ為設置的參數(shù)；F(γ)和F(κ)分別表示保真度F與原子自發(fā)輻射率γ、腔光子泄漏率κ的關系.

表4 基于綴飾態(tài)技術制備糾纏態(tài)的方案對比

3 結論

對基于LR不變量、無躍遷量子驅動、超絕熱迭代以及綴飾態(tài)這4種絕熱捷徑技術制備糾纏態(tài)的方案進行對比分析發(fā)現(xiàn)，這4種絕熱捷徑技術均能加速系統(tǒng)演化過程，且均能有效地實現(xiàn)高保真度和對環(huán)境魯棒的糾纏.另外， 4種絕熱捷徑技術在實現(xiàn)過程中也存在各自的局限性： LR不變量方案中的脈沖在當前實驗條件下難以實現(xiàn)；無躍遷量子驅動方案制備的目標態(tài)與由原始哈密頓量驅動制備的目標態(tài)相比存在一定偏差；超絕熱迭代和綴飾態(tài)方案雖具有更高的可行性(不需要耦合系統(tǒng)的初態(tài)、末態(tài)和引入額外的參數(shù)來構建哈密頓量)，但因系統(tǒng)演化路徑包含激發(fā)態(tài)和演化路徑不可控使得系統(tǒng)對原子自發(fā)輻射等耗散因素更加敏感，即其對環(huán)境的魯棒性更弱.綜上，在實際應用中應根據(jù)不同的實驗條件和精度要求靈活運用上述4種絕熱捷徑技術來實現(xiàn)目標態(tài)的制備.